NOI上看到的几个小学奥数

:余数相同问题
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描述
已知三个正整数 a，b，c。

现有一个大于1的整数x，将其作为除数分别除a，b，c，得到的余数相同。

请问满足上述条件的x的最小值是多少？

数据保证x有解。

输入
一行，三个不大于1000000的正整数a，b，c，两个整数之间用一个空格隔开。
输出
一个整数，即满足条件的x的最小值。
样例输入

样例输出

解：设：a=k1*x+r;b=k2*x+r;c=k3*x+r，消去r：

a-b=(k1-k2)*x

b-c=(k2-k3)*x

a-c=(k1-k3)*x

现在有3个数n1,n2,n3求它们的最小公约数。可以继续把它们互相做减法，得到一系列数m1,m2,m3……集合n中的数和m中的数都能被最小公倍数整除，所以我们可以继续做减法，直到这些数足够小之后，取较小的两个的最小公约数。例如题目中的数据，300-262=38;262-205=57；57-38=19，19已经是一个质数了，所以它就是答案，如果还不是质数可以继续做减法。下一个题是蓄水池问题就不说了，从小落下的病根，看这个就想吐。

:我家的门牌号
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描述
我家住在一条短胡同里，这条胡同的门牌号从1开始顺序编号。

若所有的门牌号之和减去我家门牌号的两倍，恰好等于n，求我家的门牌号及总共有多少家。

数据保证有唯一解。

输入
一个正整数n。n < 。
输出
一行，包含两个正整数，分别是我家的门牌号及总共有多少家，中间用单个空格隔开。
样例输入

样例输出
 

解：设最大门牌号y，则有平均门牌号(y+1)/2，所以门牌号之和为y(y+1)/2。

设我家门牌号x，依题意有y(y+1)/2-2x=n。即：y(y+1)=2n+4x。

因x>0所以有：y(y+1)>2n。

例如题中数据，n=100，则可知y>=14。再利用1<=x<=y即可解出一个解。

:不定方程求解
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描述
给定正整数a，b，c。求不定方程 ax+by=c 关于未知数x和y的所有非负整数解组数。

输入
一行，包含三个正整数a，b，c，两个整数之间用单个空格隔开。每个数均不大于1000。
输出
一个整数，即不定方程的非负整数解组数。
样例输入

样例输出

解：方程等价于x/b+y/a=c/(a*b)。设y=0则有x=c/a；设x=0则有y=c/b。

于是0<=x<=c/a且0<=y<=c/b。

由此可知，由于c/a整除b时x才为整数，所以：c/a/b+1（0这个解）就是解个数，或者c/b/a+1都一样。

:乘积最大的拆分
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描述
将正整数n拆分为若干个互不相等的自然数之和，问如何拆分可以使得它们的乘积最大？

输入
一个正整数n。n <= 。
输出
一行，包含若干个互不相等的自然数——乘积最大的一种拆分方案。这些自然数需从小到大输出，两个自然数之间用单个空格隔开。
样例输入

样例输出
   

这个题应该是这样解，因为拆的份数越多（除了1之外）乘的结果越大，所以从2开始拆，不让相等那就拆成2、3、4……，最后如果还差点，那也没有办法，因为前面都是挨个来的，所以只能加到最后一个数上面。如题目中15，拆成2、3、4、5之后还剩下一个，那就拆2、3、4、6。

:回文数个数
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描述
不超过n位的正整数中，有多少个回文数？

输入
一个正整数n，n <= 。
输出
一个整数，即回文数个数。
样例输入

样例输出

这个题就不捣鼓方程了，所谓回文数就是正着反着看都是一样的，例如ABA，当然1位的话怎么看都一样。所以有：

1位数的时候1-9一共9个。

2位数的时候11-99一共9个。

然后递推就可以了：

1、向1位数两边各添一位相等的数，例如1两边都加2就是212，显而易见由于首位0的限制，只能有9种情况。但是，这时要注意，中间的那一位可以为0了，所以一共有9*（9+1）种情况。

2、向2位数两边各添加一位相等的数，情况与上面1相同，也有90种。

所以有结论：1、2位9种，3、4位90种，5、6位900种……题目让求和，那么1位有9种，2位18种，3位108种，4位198种……

以上，剩下再看到有趣的再写。

:连乘积末尾0的个数
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描述
给定两个正整数a，b（a < b）。求连乘积：

a×(a+)×(a+)×...×(b-)×b

的末尾有多少个0？

输入
一行，包括两个正整数a，b。a < b <=
输出
一个整数，即连乘积末尾0的个数。
样例输入

样例输出

　　这个题比上一个李白的酒（通项：0.5*2^(n-1)）有意思，从a乘到b，关注末尾的数字：0是怎么来的？考虑这样几种情况：

1、a个位为0：自然增加一个结尾0。

2、a个位为5：遇到下一个偶数（就是a+1）才得到一个结尾0或00或000…………，但根据题意a<b它一定会遇到。

3、a个位为1、2、3、4、6、7、8、9：奇数咋也乘不出来10来，偶数遇到5才行。

所以，这个题目需要检查一些特殊的情况：a=25,b=26和a=25,b=28结尾0个数是不一样的。当然，题目中所给的数字很容易判断：

11-56一共跨越了15、20、25、30、35、40、45、50、55一共9个可以造成末尾0的数字，而其中25、50含有2个5，所以结果是11个。而如果a和b跨度较短，则需要检测是否有足够的偶数消耗掉了5。当然，在广泛的范围内，也需要证明5可以被消耗完成，否则就只能挨个乘结尾为偶数和5的数字了。下一个题目分苹果就很简单了，n个小盆友每个人得到不同数目苹果，至少需要多少个？记得当初老太办公室一叔叔1+2+3……+100都难的我好半天。汗颜啊……

:质数的和与积
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两个质数的和是S，它们的积最大是多少？

输入
一个不大于10000的正整数S，为两个质数的和。
输出
一个整数，为两个质数的最大乘积。数据保证有解。
样例输入

样例输出

从手动解的角度来看……这个题就只好有依据（两个乘数越接近积越大，n^2>(n+1)(n-1)这个。从s/2开始，s/2±2、4、6……）的蒙了，好吧，叫尝试法。没说两个质数不能相等吧？25、25不行，23、27不行，21、29不行，19、31看来就是了。从编程的角度来看，先计算sqrt(s)之前的筛子，然后也是类似的过程。

:最大公约数与最小公倍数
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两个正整数的最大公约数是G，最小公倍数是L，它们的和最小是多少？

输入
两个不大于10000的正整数G和L，中间用单个空格隔开。数据保证L是G的倍数。
输出
一个正整数，即最小的和。
样例输入

样例输出

这个题说的是两数的乘积为G*L，问它们的最小和。可以得到两个等式：

1、a+b=x

2、a*b=G*L

将2带入1，可得：a+G*L/a=x，即a^2-x*a+G*L=0。其有解的充要条件就是x^2>=4*G*L了。

例如题目数据，x>=sqrt(4*14*280)即x>125.2。编程求来说应该没什么难度，记得向上取整是ceil函数。但是手动就需要手工开方……好吧，早就还给老师了，我们这样：先质因数分解为：4*14*14*4*5，就剩下4*14*sqrt(5)了，如果还不记得，那只好继续猜：2^2<5<3^2，所以是2.?，接下来就忘了，可以二分试值。

:神奇序列求和
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描述
有一个序列，初始时只有两个数x和y，之后每次操作时，在原序列的任意两个相邻数之间插入这两个数的和，得到新序列。举例说明：

初始： 

操作1次：  

操作2次：    

……

问操作n次之后，得到的序列的所有数之和是多少？

输入
三个整数x，y，n，相邻两个数之间用单个空格隔开。 <= x <= ,  <= y <= ,  < n <= 。
输出
一个整数，即最终序列中所有数之和。
样例输入

样例输出

这个问题很有规律，观察下一级时上一次的和被利用了几次。把和作为一个整体即可得到规律。

:求小数的某一位
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分数a/b化为小数后，小数点后第n位的数字是多少？
输入
三个正整数a，b，n，相邻两个数之间用单个空格隔开。 < a < b < ， <= n <= 。
输出
一个数字。
样例输入

样例输出

这个就编程来说似乎不算难，虽然用double也无法达到精度，但实际上实现起来甚至无需实现一个高精度除法：先求余，然后用余数乘10、100、1000、10000之类的（要看要求多少位了，其实每次都乘10代码最简单）就可以做出来了。笔算的话，我觉得应该是循环小数，否则就没有意思了。

:计算星期几
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假设今天是星期日，那么过ab天之后是星期几？
输入
两个正整数a，b，中间用单个空格隔开。 < a <= ,  < b <= 。
输出
一个字符串，代表过ab​天之后是星期几。
其中，Monday是星期一，Tuesday是星期二，Wednesday是星期三，Thursday是星期四，Friday是星期五，Saturday是星期六，Sunday是星期日。
样例输入

样例输出
Tuesday

这个问题在上一个问题的路上越走越远。编程计算就是pow然后%7。手工计算的话，是利用幂的性质，把底数向7靠拢，以期消去幂指数的思路。

后面几个问题就不写了，没多大意思。