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2016/11/21

有一道题是证明$(\mathbb{R}^n,\|\cdot\|_p)$当$p : 1< p <+\infty$时是uniformly convex的。这个题当然可以用Clarkson定理证明出来。可是我觉得这个结论非常的显然,但居然还要用到像Clarkson这样复杂麻烦的东西。一定有一个简单的方法可以证明出来。当然,我没有找到什么简单的方法,可是我觉得这个Claim应该成立:

对任意的$p : 1< p <+\infty$,都存在一个只依赖于$p$和$n$的正实数$C(n,p)$,使得下式对所有$a, b \in \mathbb{R}^n$都成立:

$$|\frac{a+b}{2}|^p + C(n,p) \cdot |\frac{a-b}{2}|^p \leq \frac{1}{2}|a|^p + \frac{1}{2}|b|^p$$

为此,我做了如下MATLAB仿真:

clear;
n = ; % dimension
steps = 0.01;
epsilon = 0.1;
p = (:steps:) + steps; % adjust the range of this argument
np = length(p);
nRep = 1e3;
c = zeros(np,nRep);
for i = :np % p
for j = :nRep % repeat
pp = p(i);
a = randn(n,);
b = randn(n,);
while (norm(a-b,pp) < epsilon)
a = randn(n,);
b = randn(n,);
end
c(i,j) = ( 0.5 * norm(a,pp)^pp + 0.5 * norm(b,pp)^pp - norm((a+b)/,pp)^pp ) / norm((a-b)/,pp)^pp;
end
end c_max = max(c,[],);
plot(p,c_max'); title(strcat('dimension =',{' '},num2str(n)));

结果如下:

我觉得这个结论应该是成立的,虽然不知道怎么证明。

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