接着LU分解继续往下,就会发展出很多相关但是并不完全一样的矩阵分解,最后对于对称正定矩阵,我们则可以给出非常有用的cholesky分解。这些分解的来源就在于矩阵本身存在的特殊的

结构。对于矩阵A,如果没有任何的特殊结构,那么可以给出A=L*U分解,其中L是下三角矩阵且对角线全部为1,U是上三角矩阵但是对角线的值任意,将U正规化成对角线为1的矩阵,产生分解A = L*D*U, D为对角矩阵。如果A为对称矩阵,那么会产生A=L*D*L分解。如果A为正定对称矩阵,那么就会产生A=G*G,可以这么理解G=L*sqrt(D)。

A=L*D*U分解对应的Matlab代码如下:

function[L, D, U] =zldu(A)

%LDU decomposition of square matrix A. The first step for Cholesky

%decomposition

 

[m, n] = size(A);

if m ~= n

    error('support square matrix only')

end

 

L = eye(n);

U = eye(n);

d = zeros(n,1);

 

for k=1:n

    

    v = zeros(n, 1);

    if k == 1

        v(k:end) = A(k:end, k);

    else

        m = L(1:k-1, 1:k-1) \ A(1:k-1, k);

        for j = 1:k-1

            U(j, k) = m(j) / d(j);

        end

        

        v(k:end) = A(k:end, k) - L(k:end, 1:k-1)*m(:);

    end

    

    d(k) = v(k);

    

    if k < n

        L(k+1:end, k) = v(k+1:end)/v(k);

    end

    

end

 

D = diag(d);

分解的稳定性和精度结果如下:

mean of my lu     : 9.0307e-15

variance of my lu : 4.17441e-27

mean of matlab lu     : 3.70519e-16

variance of matlab lu : 2.07393e-32

这里的计算是基于Gaxpy,所以稳定性和精确度相当之好。

 

A=L*D*L分解对应代码如下,这里要求A必须为对称矩阵:

function[D, L] =zldl(A)

%A = L*D*L' another version of LU decomposition for matrix A

 

[m, n] = size(A);

 

if m ~= n

    error('support square matrix only')

end

 

L = eye(n);

d = zeros(n,1);

 

for k=1:n

    v = zeros(n,1);

    

    for j=1:k-1

        v(j) = L(k, j)*d(j);

    end

    

    v(k) = A(k,k) - L(k, 1:k-1)*v(1:k-1);

    

    d(k) = v(k);

    

    L(k+1:end, k) = (A(k+1:end,k) - A(k+1:end, 1:k-1)*v(1:k-1)) / v(k);

end

 

D = diag(d);

对应分解的精确度和稳定度如下:

mean of my lu : 35.264
variance of my lu : 29011.2
mean of matlab lu : 5.88824e-16
variance of matlab lu : 8.40037e-32

使用如下的代码做测试:

n = 1500;

my_error = zeros(1, n);

sys_error = zeros(1, n);

 

for i = 1:n

    test = gensys(5);

    [zd, zl] = zldl(test);

    [l, d] = ldl(test);

 

    my_error(i) = norm(zl*zd*(zl') - test, 'fro');

    sys_error(i) = norm(l*d*(l') - test, 'fro');

end

 

fprintf('mean of my lu     : %g\n', mean(my_error));

fprintf('variance of my lu : %g\n', var(my_error));

 

fprintf('mean of matlab lu     : %g\n', mean(sys_error));

fprintf('variance of matlab lu : %g\n', var(sys_error));

对于运算的精度如此之低的原因并不清楚

 

A=G*G’; cholesky分解对应的代码如下:

function[G] =zgaxpychol(A)

%cholesky decomposition for symmetric positive definite matrix

%the only requirement is matrix A: symmetric positive definite

 

[m, n] = size(A);

 

if m ~= n

    error('support square matrix only')

end

 

G = eye(n);

 

for k=1:n

    

    v = A(:,k);

    

    if k > 1

        v(:) = v(:) - G(:,1:k-1)*G(k,1:k-1)';

    end

    

    G(k:end, k) = v(k:end) / sqrt(v(k));

end

对应的测试结果如下

mean of my lu : 1.10711e-15
variance of my lu : 3.04741e-31
mean of matlab lu : 5.5205e-16
variance of matlab lu : 9.64928e-32

自己代码的精确度和稳定性可以媲美Matlab的代码,产生这种结果的原因应该是positive sysmetric definite matrix的原因,这段代码基于gaxpy的结果,下面给出另外一种基于外积的运算结果。

function[G] =zopchol(A)

%cholesky decomposition based on rank-1 matrix update

 

[m, n] = size(A);

if m ~= n

    error('support square matrix only')

end

 

G = zeros(n);

 

for k=1:n

    

    G(k,k) = sqrt(A(k,k));

    G(k+1:end, k) = A(k+1:end, k) / G(k,k);

    

    %update matrix A

    for j = (k+1):n

        A(k+1:end,j) = A(k+1:end,j) - G(j,k)*G(k+1:end,k);

    end

end

 

对应的测试结果如下:

mean of my lu : 9.33114e-16
variance of my lu : 1.71179e-31
mean of matlab lu : 9.92241e-16
variance of matlab lu : 1.60667e-31

对应的测试程序如下,这里使用系统自带的chol函数完成cholesky分解。

n = 1500;

my_error = zeros(1, n);

sys_error = zeros(1, n);

 

for i = 1:n

    test = genpd(5);

    [zg] = zopchol(test);

    l = chol(test, 'lower');

 

    my_error(i) = norm(zg*(zg') - test, 'fro');

    sys_error(i) = norm(l*(l') - test, 'fro');

end

 

fprintf('mean of my lu     : %g\n', mean(my_error));

fprintf('variance of my lu : %g\n', var(my_error));

 

fprintf('mean of matlab lu     : %g\n', mean(sys_error));

fprintf('variance of matlab lu : %g\n', var(sys_error));

将两个结果想比较,可以发现两个版本的cholesky分解的精确度和稳定度差不多。

Cholesky分解的核心在于矩阵对称正定的结构,基于LU分解的再次扩展。

cholesky分解的更多相关文章

  1. 矩阵分解----Cholesky分解

    矩阵分解是将矩阵拆解成多个矩阵的乘积,常见的分解方法有 三角分解法.QR分解法.奇异值分解法.三角分解法是将原方阵分解成一个上三角矩阵和一个下三角矩阵,这种分解方法叫做LU分解法.进一步,如果待分解的 ...

  2. Cholesky分解(Cholesky decomposition / Cholesky )

    Cholesky decomposition In linear algebra, the Cholesky decomposition or Cholesky is a decomposition ...

  3. Cholesky分解 平方根法

    一种矩阵运算方法,又叫Cholesky分解.所谓平方根法,就是利用对称正定矩阵的三角分解得到的求解对称正定方程组的一种有效方法.它是把一个对称正定的矩阵表示成一个下三角矩阵L和其转置的乘积的分解.它要 ...

  4. QR分解

        从矩阵分解的角度来看,LU和Cholesky分解目标在于将矩阵转化为三角矩阵的乘积,所以在LAPACK种对应的名称是trf(Triangular Factorization).QR分解的目的在 ...

  5. 【Math for ML】矩阵分解(Matrix Decompositions) (上)

    I. 行列式(Determinants)和迹(Trace) 1. 行列式(Determinants) 为避免和绝对值符号混淆,本文一般使用\(det(A)\)来表示矩阵\(A\)的行列式.另外这里的\ ...

  6. SVD分解及线性最小二乘问题

    这部分矩阵运算的知识是三维重建的数据基础. 矩阵分解 求解线性方程组:,其解可以表示为. 为了提高运算速度,节约存储空间,通常会采用矩阵分解的方案,常见的矩阵分解有LU分解.QR分解.Cholesky ...

  7. 矩阵分解-----LDL分解

    若一个矩阵A是正定的,那么该矩阵也可以唯一分解为\[{\bf{A = LD}}{{\bf{L}}^{\bf{T}}}\] 其中L是对角元素都为1的下三角矩阵,D是对角元素都为正数的对角矩阵.还是以三维 ...

  8. QR 分解

    将学习到什么 介绍了平面旋转矩阵,Householder 矩阵和 QR 分解以入相关性质.   预备知识 平面旋转与 Householder 矩阵是特殊的酉矩阵,它们在建立某些基本的矩阵分解过程中起着 ...

  9. 【原创】开源Math.NET基础数学类库使用(01)综合介绍

                   本博客所有文章分类的总目录:[总目录]本博客博文总目录-实时更新  开源Math.NET基础数学类库使用总目录:[目录]开源Math.NET基础数学类库使用总目录 前言 ...

随机推荐

  1. js中return false,return,return true的使用方法及区别

    起首return作为返回keyword,他有下面两种返回体式格式 1.返回把握与函数成果 语法为:return 表达式; 语句停止函数履行,返回调用函数,而且把表达式的值作为函数的成果 2.返回把握无 ...

  2. boost库在工作(15)绑定器与函数对象之三

    前面已经可以优美地解决两个参数的函数给算法for_each调用了,但是又会遇到这样的一种情况,当需要三个参数或者三个以上的参数给算法for_each调用呢?从STL里的绑定器bind1st,显然是不行 ...

  3. [转] boost------ref的使用(Boost程序库完全开发指南)读书笔记

    http://blog.csdn.net/zengraoli/article/details/9663057 STL和Boost中的算法和函数大量使用了函数对象作为判断式或谓词参数,而这些参数都是传值 ...

  4. Mysql update error: Error Code: 1175. You are using safe update mode and you tried to update a table

    Mysql update error: Error Code: 1175. You are using safe update mode and you tried to update a table ...

  5. android EditText设置光标、边框和图标

    控制边框形状,先在drawable中建一个xml文件:shape.xml <?xml version="1.0" encoding="utf-8"?> ...

  6. 简单Word操作

    //创建空白Word文档 private void button1_Click(object sender, EventArgs e) { object missing = Missing.Value ...

  7. cxf客户端代码wsdlLocation设置相对路径

    利用工生成的cxf客户端代码,wsdlLocation都是绝对路径,为了便于项目更加灵活管理,我们可以将该路径设置为相对路径: 1.下面图片是我的项目路径图片及wsdl地址存放路径: 2.下面图片是我 ...

  8. Python文件之----XML

    #coding=utf-8 from xml.dom import minidom from xml.dom.minidom import Document import xml def writeX ...

  9. [置顶] Spring的DI依赖实现分析

    DI(依赖注入)是Spring最底层的核心容器要实现的功能之一,利用DI可以实现程序功能的控制反转(控制反转即程序之间之间的依赖关系不再由程序员来负责,而是由Spring容器来负责) 一个简单的例子( ...

  10. js移动设备手机跳转地址代码

    if(/AppleWebKit.*mobile/i.test(navigator.userAgent) || (/MIDP|SymbianOS|NOKIA|SAMSUNG|LG|NEC|TCL|Alc ...