Codeforces B. Minimum Possible LCM(贪心数论)
题目描述:
B. Minimum Possible LCM
time limit per test
4 seconds
memory limit per test
1024 megabytes
input
standard input
output
standard output
You are given an array aconsisting of integers a1,a2,…,a**n
Your problem is to find such pair of indices i,j that lcm(\(a_i\),\(a_j\))is minimum possible.
lcm(x,y) is the least common multiple of and x and y(minimum positive number such that both x and y are divisors of this number).
Input
The first line of the input contains one integer n — the number of elements in a
The second line of the input contains n integers a1,a2,…,an (1≤ai≤107), where ai is the i-th element of a.is the i.
Output
Print two integers i and (1≤i<j≤n is minimum among all valid pairs i,j
思路:
题目是要求一组数中两个数的最小公倍数的最小值。刚开始一个直白的想法就是枚举,把每两个数的gcd求出来,根据gcd求每两个数的lcm。这种做法的时间复杂度为O(\(n^2\log_2 n\)),在看看题目的数据范围,显然不太科学,限时4秒,\(10^{12}log_210^{6}\),会远远超时。怎么办?
我们来想一想,一般lcm问题与gcd问题是挂钩的。怎么样来求,由于数据的范围给定了,考虑枚举数的因子,从1开始到\(10^7\),在数列中找到一因子为最大公约数的两个最小数,就是答案。为什么?
假设现在枚举到了公因子d,数列中是d的倍数的有\(x_1\)<\(x_2\)<\(x_3\)<...<\(x_n\),如果d是\(x_1\),\(x_2\)的gcd,那么也就满足条件,x1,x2的最小公倍数肯定最小(在d为因子时)。如果d不是x1,x2的gcd,那也不是后面数的gcd,那么最大公倍数就不会最小。
由于d是从小到大枚举的,如果在d时满足条件,肯定为局部最优解。如果都不满足d为gcd,d++,继续枚举直到满足。由于算法一定会终止,算法的正确性就有了保障。算法复杂度是O(\(n\log_2 n\))
需要注意的是当元素有重复的情况,那么这种元素的最小公倍数就是本身,而且只可能是最小重复元素的时候,因为如果比它大的重复元素的lcm一定大于它,不会是全局最小lcm,单独在输入的时候不断覆盖,留下最小的一种即可。
注意LLONG_MAX和LONG_MAX是不一样的,我一开始错了,原来因为是数不够大。
代码:
#include <iostream>
#include <climits>
#define INF LLONG_MAX
#define max_n 10000007
using namespace std;
long long a[max_n];
int n;
int pos[max_n];
long long ans = 0;
long long minm = INF;
int x = 0;
int y = 0;
long long gcd(long long a,long long b)
{
return (b==0)?a:gcd(b,a%b);
}
int main()
{
cin >> n;
for(int i = 1;i<=n;i++)
{
int v;
cin >> v;
a[v]++;
if(a[v]>1&&v<minm)
{
minm = v;
x = pos[v];
y = i;
}
pos[v] = i;
}
for(int i = 1;i<max_n;i++)
{
long long v = 0;
for(int j = i;j<max_n;j+=i)
{
if(a[j]==0)
{
continue;
}
if(v==0)
{
v = j;
}
else
{
long long g = gcd(v/i,j/i);
if(g==1)
{
ans = (long long)j/i*v;
if(ans<minm)
{
//cout << "v " << v << " j " << j << endl;
minm = ans;
x = pos[v];
y = pos[j];
}
}
break;
}
}
}
if(x>y) swap(x,y);
cout << x << " " << y << endl;
return 0;
}
参考文章:
KobeDuu,Minimum Possible LCM【枚举】,https://blog.csdn.net/qq_41157137/article/details/89353527
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