CDOJ 1280 772002画马尾 每周一题 div1 矩阵快速幂 中二版

“问题：众所周知772002很喜欢马尾，所以他决定画几幅马尾送给他的女朋友。

772002会画m种马尾，772002还有n张纸，n张纸分别编号1到n，每张纸上只能画一种马尾。

然而772002的女朋友只喜欢其中t种马尾。并且772002的女朋友只喜欢偶数（因为这象征着成对成双）。

772002想知道有多少种画法，使得n张纸画满并且自己女朋友喜欢的那t种马尾每种个数都恰好为偶数。

然而772002陪女朋友看电影去了，所以他把这个问题交给了你，你能解决吗？

m≤10，t≤m，n≤1000000000 ”

我呆呆的看着拿着神签，不知所措。

“别慌，冷静一下。正如潘星霖所讲：既然是题，那就一定能够做出来的。我们会和你一起想的。”沈柯静静的说道。

说的很有道理，但是这有什么用呢，我也想……

“我有一个简单的做法。”蹲在一旁的小郭，颤颤抖抖地举起了她的右手。

“我暴力枚举每张纸上画的是哪种马尾，然后枚举完之后，再进行检查是不是合法的就好了，这样应该就能得出答……”

“显然不行。”杨宇同还没等小郭说完，就马上就给出了回复，“这样的时间复杂度太高，根本不可能在有效时间内计算出来。”

......

又陷入了死一样的沉寂，只剩下风吹过的声音，就似鬼魂般游荡。

......

“换一个思路？”张冠澜突然说道，“我们可以令dp[i][j]表示画到第i张纸，现在t种马尾中有奇数种的个数为j的方案数。”

沈柯仿佛想到了什么，接着张冠澜说道：“恩，这个思路很好，这个dp的转移就是dp[i][j] = dp[i-1][j-1]*(t-j+1) + dp[i-1][j]*(m-t) + dp[i-1][j+1]*(j+1)。而最后的答案就是dp[n][0]。”

杨宇同补充道：“这样的时间复杂度是O(n*t)的，但是这道题要求n≤1000000000，时间仍然还是不允许，这该怎么办呢？”

一定是哪儿我们都没想到！

......

加油，我们一定想得出的，只差最后一步了。

大家仿佛都这样想着，都紧闭着双眼，思索着……

咦，好像我发现了什么，这个dp转移的时候，只和上一回合有关，而且貌似每次转移的方法都一模一样！

但是这个有什么用呢？

继续想想想。

......

“矩阵！”

“刚才那个式子，其实就是一个t*t大小的矩阵的连乘！”

“举一个例子，当t=4的时候，这个矩阵应该是什么样的呢？

然后这个矩阵的n次方的第一行第一列的第一个数就是答案！

但是，现在又有一个问题来了，如何快速求一个矩阵的n次方呢？”

“快速幂！”大家异口同声的说道。

“和潘星霖说的做法一样，我们只需要log的时间内，就能求出矩阵的n次方出来！”

“没错！”

......

仿佛这道题就解决了？

爽！

“快去，快去向系统说你的答案！时间不多了！”，张冠澜立马冲了过来，大力的将我推向了神签面前！

......

“回答正确。”

“剩余人数：8人”

“游戏继续。”

依旧是那冰冷的声音，不过格外温暖。