【FFT（母函数）+容斥】BZOJ3771-Triple

【题目大意】

给出 n个物品，价值为别为Xi且各不相同，现在可以取1个、2个或3个，问每种价值和有几种情况？

*顺序不同算一种

【思路】

显然是个母函数，A表示每种物品取一个的情况，B表示每种物品取二个的情况，C表示每种物品取三个的情况。用指数表示价值，系数表示该价值的个数，显然多项式相乘后指数会相加，系数会相乘，很容易就求出来了。

所以对于每种物品价值Xi,A[xi]++,B[2*xi]++,C[3*xi]++。

如果取1个物品，答案就是A。

如果取2个物品，A^2中有重复的(xi,xi)的情况，所以答案为A^2-B。

如果去3个物品，A^3中可能有(xi,xi,xi)(xi,xi,yi)(xi,yi,xi)(yi,xi,xi)这几种重复的情况，而A*B能够求出所有形容(xi,xi,xi)和(xi,yi,yi)的情况数。(xi,xi,yi)(xi,yi,xi)(yi,xi,xi)总的情况数=(xi,yi,yi)*3，而A*B*3又会多减去了两次(xi,xi,xi)，所以要用C加回来。所以答案为A^3-3*B*A+2C。又由于顺序不同算一种情况，因为每种物品价值都不一样，情况(2)/2,情况(3)/6。

故总情况数量=++

（公式好烦啊把默认编辑器换成Markdown算了）

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<complex>
 #include<cmath>
 #define pi acos(-1)
 using namespace std;
 typedef complex<double> com;
 typedef long long ll;
 const int MAXN=+;
 com a[MAXN],b[MAXN],c[MAXN];
 int m,n,len,L,Rev[MAXN];
 void get_bit(){for (n=,L=;n<m;n<<=) L++;}
 void get_Rtable(){for (int i=;i<n;i++) Rev[i]=(Rev[i>>]>>)|((i&)<<(L-));}

 void FFT(com* a,int flag)
 {
     for (int i=;i<n;i++)if(i<Rev[i])swap(a[i],a[Rev[i]]); //利用逆序表，快速求逆序
     for (int i=;i<n;i<<=)
     {
         com wn(cos(*pi/(i*)),flag*sin(*pi/(i*)));
         for (int j=;j<n;j+=(i<<))
         {
             com w(,);
             for (int k=;k<i;k++,w*=wn)
             {
                 com x=a[j+k],y=w*a[j+k+i];
                 a[j+k]=x+y;
                 a[j+k+i]=x-y;
             }
         }
     }
     if (flag==-) for (int i=;i<n;i++) a[i]/=n;
 }

 void init()
 {
     scanf("%d",&n);
     for (int i=;i<n;i++)
     {
         int ai;
         scanf("%d",&ai);
         a[ai]+=();b[*ai]+=();c[*ai]+=();
         len=max(len,*ai);
     }
 }

 void solve()
 {
     m=len<<;
     len++;m++;
     get_bit();
     get_Rtable();
     FFT(a,);
     FFT(b,);
     FFT(c,);
     com t2=(),t3=(),t6=();
     for (int i=;i<n;i++)
        a[i]=(a[i]*a[i]*a[i]-t3*a[i]*b[i]+t2*c[i])/t6+(a[i]*a[i]-b[i])/t2+a[i];
     FFT(a,-);
 }

 void get_ans()
 {
     for (int i=;i<m;i++)
     {
         ll num=(ll)(a[i].real()+0.5);
         if (num!=) printf("%d %d\n",i,num);
     }
 }

 int main()
 {
     init();
     solve();
     get_ans();
     return ;
 }