LA 3882 经典约瑟夫环问题的数学递推解法

就是经典约瑟夫环问题的裸题

我一开始一直没理解这个递推是怎么来的，后来终于理解了

假设问题是从n个人编号分别为0...n-1，取第k个，

则第k个人编号为k-1的淘汰，剩下的编号为  0,1,2,3...k-2,k,k+1,k+2...

此时因为从刚刚淘汰那个人的下一个开始数起，因此重新编号

把k号设置为0,则

k    0

k+1 1

...

0 n-k

1 n-k+1

假设已经求得了n-1个人情况下的最终胜利者保存在f[n-1]中，则毫无疑问，该胜利者还原到原来的真正编号即为 (f[n-1]+k)%n （因为第二轮重新编号的时候，相当于把每个人的编号都减了k，因此重新+k即可恢复到原来编号）。由此，我们可以想象，当最终只剩下一个人的时候，该人即为胜利者，此时重新编号，因为只有一个人，所以此时f[1]=0

这样f[2]=(f[1]+k)%2,这样就可以求出最终胜利者在2个人的时候的情况下的编号，由递推公式f[n]=(f[n-1]+k)%n,可递推到最初编号序列中该胜利者的编号。

因此用这个方法，只需一遍On的扫描，即可求出最终答案

不过该题要求编号从1开始，只要把f[n]+1即可，同时，该题指定了第一个要删除的人必须为编号为m的人，其实也不难，求出f[n]之后，把原本编号为0的位置移到跟m只相距k的位置即可实现第一次删除的编号为m。所以最终 ans=(f[n]+1+m-k);

当然因为m-k可能为负数，导致整个ans为负，这样其实最后+n即可解决。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
int n,m,k;
int main()
{
    while (scanf("%d%d%d",&n,&k,&m))
    {
        if (n+m+k==) break;
        int s=;
        for (int i=;i<=n;i++)
            s=(s+k)%i;
        int ans;
        ans=(m-k+s+)%n;
        if (ans<=) ans+=n;
        printf("%d\n",ans);
    }
    return ;
}