并查集 & 最小生成树详细讲解
并查集 & 最小生成树
并查集 Disjoint Sets
什么是并查集?
并查集,在一些有N个元素的集合应用问题中,我们通常是在开始时让每个元素构成一个单元素的集合,然后按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并,其间要反复查找一个元素在哪个集合中。这一类问题近几年来反复出现在信息学的国际国内赛题中,其特点是看似并不复杂,但数据量极大,若用正常的数据结构来描述的话,往往在空间上过大,计算机无法承受;即使在空间上勉强通过,运行的时间复杂度也极高,根本就不可能在比赛规定的运行时间(1~3秒)内计算出试题需要的结果,只能用并查集来描述。
并查集(Disjoint Sets)是一种树型的数据结构,用于处理一些不相交集合的合并及查询问题。常常在使用中以森林来表示。(引自百度百科《并查集》)
简单来说,并查集的主要操作有:
1- 合并两个不相交的集合
2- 查询两个元素是否属于同一个集合
老样子,先上引例——
NKOJ 1205 亲戚
或许你并不知道,你的某个朋友是你的亲戚。他可能是你的曾祖父的外公的女婿的外甥女的表姐的孙子。如果能得到完整的家谱,判断两个人是否亲戚应该是可行的,但如果两个人的最近公共祖先与他们相隔好几代,使得家谱十分庞大,那么检验亲戚关系实非人力所能及。在这种情况下,最好的帮手就是计算机。
为了将问题简化,你将得到一些亲戚关系的信息,如同Marry和Tom是亲戚,Tom和Ben是亲戚,等等。从这些信息中,你可以推出Marry和Ben 是亲戚。请写一个程序,对于我们的关于亲戚关系的提问,以最快的速度给出答案。
输入格式:
输入由两部分组成。
第一部分以N,M开始。N为问题涉及的人的个数(1 ≤ N ≤ 20000)。这些人的
编号为1,2,3,…,N。下面有M行(1 ≤ M ≤ 100000),每行有两个数ai, bi,表示已知ai和bi是亲戚。
第二部分以Q开始。以下Q行有Q个询问(1 ≤ Q ≤ 1 000 000),每行为ci,di,表示询问ci和di是否为亲戚。
输出格式:
对于每个询问ci, di,若ci和di为亲戚,则输出yes,否则输出no。
样例输入:
10 7
2 4
5 7
1 3
8 9
1 2
5 6
2 3
3
3 4
7 10
8 9
样例输出:
yes
no
yes
传送门:http://oi.nks.edu.cn/zh/Problem/Details?id=1205
从题目中我们可以得到一些提示,它就是要让我们构建一个关系集合出来,再快速查找两个元素是否位于同一集合,这显然就与并查集的效用十分吻合。
合并的过程是怎样的(图示)?
并查集的工作原理
基于此算法如此高的时间复杂度,我们采用某种特殊的手段来优化它,这也便是并查集的核心内容——路径压缩
下面给出并查集的核心函数:
查询同时路径压缩
int GetFather(int v) { //查询元素v所在集合的根节点
if (Father[v] == v)return v; //v本身为根
else {
Father[v] = GetFather(Father[v]); //只对v到根这条路径上的节点进行路径压缩
return Father[v];
}
}
合并两个集合
void Merge(int x, int y) { //合并元素x和元素y所在集合
int fx, fy;
fx = GetFather(x); //先找出x和y所在集合的根
fy = GetFather(y); //两根不相同,说明x和y位于不同集合
if (fx != fy)Father[fx] = fy; //将fy设为fx的父亲,合并两个集合
}
我们回到引例,我们现在可以很轻松地解决此题(伪代码)——
for (i = 1; i <= n; ++ i)Father[i] = i; //初始化
for (i = 1; i <= m; ++ i) { //读入关系
cin >> x >> y;
Merge(x, y);
}
for (i = 1; i <= q; ++ i) { //回答询问
cin >> x >> y;
if (GetFather(x) == GetFather(y))
cout << "Yes";
else cout << "No";
} (O(m))
#######提供几道并查集的简单练习:
NKOJ 3197 岛屿
NKOJ 1046 关押罪犯
并查集的启发式合并(有缘再补)
最小生成树 Minnimum Spanning Tree(MST)
什么是最小生成树?
一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图,且包含原图中的所有 n 个结点,并且有保持图连通的最少的边。最小生成树可以用kruskal(克鲁斯卡尔)算法或prim(普里姆)算法求出。(引自百度百科《最小生成树》)
简言之,最小生成树就是在一个连通图中生成一棵树,刚好连通所有节点,所含边数(或边权总和最小)。
举个栗子,感受一下——
引例:村长的难题
何老板是某乡村的村长,何老板打算给该村的所有人家都连上网。
该村有n(1<=n<=1000)户人家,编号1到n。由于地形等原因,只有
m(1<=m<=50000)对人家之间可以相互牵线。在不同人家间牵线的长度不一定相同。比如在Ai与Bi之间牵线需要Ci米长的网线。
整个村的网络入口在1号人家,何老板的问题是:是否能使得所有人家都连上网?使所有人家都连上网,最少需要多少米网线?
关注这个例子,我们的解法是要用网线连接n户人家,找出一种方案,使得总的长度最少。
我们目测可到样图的最小生成树
可是我们怎么用算法做到呢?
接下来我会介绍三种算法:
1- Kruskal(克鲁斯卡尔算法)
2- Prim(普里姆算法)
3- Boruvka算法
这三种算法都是基于贪心思想的应用,但其中Kruskal可处理同权边的情况,而Boruvka不可以。
Kruskal
Kruskal算法的基本思想:
每次选不属于同一生成树的且权值最小的边的顶点,将边加入生成树,并将所在的2个生成树合并,直到只剩一个生成树。
排序使用Quicksort
检查是否在同一生成树用并查集
总时间复杂度O(mlogm),其中m表示边的数量
以下是用Kruskal解决引例的代码:
#define maxm 10003
#define maxn 103
struct node {
int a, b, len; //a,b表示边的两个顶点,len表示长度
}Edge[maxm]; //边的信息
int n, m; //n为顶点数,m为边数
int Father[maxn]; //Father[]存i的父亲节点
bool cmp(node a, node b) { //按边长由小到大排序
return a.len < b.len;
}
void ini() { //初始化
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= m; ++ i)
scanf("%d%d%d", &Edge[i].a, &Edge[i].b, &Edge[i].len);
for (int i = 1; i <= n; ++ i)Father[i] = i; //初始化并查集
sort(Edge + 1, Edge + m + 1, cmp);
}
int GetFather(int x) { //并查集,用于判断2个顶点是否属于同一个生成树
if (x != Father[x])Father[x] = GetFather(Father[x]);
}
void Kruskal() {
int x, y, k, Cnt, tot; //k为当前边的编号,tot统计最小生成树的边权总和
Cnt = 0; //Cnt统计进行了几次合并,n - 1次合并就得到最小生成树
k = 0;
tot = 0;
while (Cnt < n - 1) { //n个点构成的生成树只有n - 1条边
++ k;
x = GetFather(Edge[k].a);
y = GetFather(Edge[k].b);
if (x != y) {
Father[x] = y; //合并到一个生成树
tot += Edge[k].len;
++ Cnt;
}
}
printf("%d", tot);
}
int main() {
ini();
Kruskal();
return 0;
}
Prim
Prim算法的基本思想:
任选一个点,加入生成树集合。
在未加入生成树的点中,找出离生成树距离最近的一个点,将其加入生成树。
反复上述操作,直到所有点都加入了生成树。
总时间复杂度O(n^2),其中n为点的个数
以下给出Prim函数代码:
void Prim(int x) { //开始时任选一点x加入生成树,故一开始树中只有一个点x
int i, j, k, Min;
int Dis[103], Path[103];
for (i = 1; i <= n; ++ i) {
Dis[i] = Map[i][x];
Path[i] = x;
}
for (i = 1; i <= n - 1; ++ i) {
Min = inf;
for (j = 1; j <= n; j += )
if ((Dis[j] != 0) && (Dis[j] < Min) {
Min = Dis[j];
k = j;
}
Dis[k] = 0;
for (j = 1; j <= n; ++ j)
if( Dis[j] > Map[j][k]) {
Dis[j] = Map[j][k];
Path[j] = k;
}
}
}
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