张量（Tensor）、标量（scalar）、向量（vector）、矩阵（matrix）

张量（Tensor）：Tensor = multi-dimensional array of numbers 张量是一个多维数组，它是标量，向量，矩阵的高维扩展 ，是一个数据容器，张量是矩阵向任意维度的推广

注意，张量的维度（dimension）通常叫作轴（axis）, 张量轴的个数也叫作阶（rank）］

标量（scalar）：只有一个数字的张量叫标量（也叫标量张量、零维张量、0D 张量）

x = np.array(12)

print(x.ndim) 可以用 ndim 属性来查看一个 Numpy 张量的轴的个数。标量张量有 0 个轴（ ndim == 0 ）。

向量（vector）：数字组成的数组叫作向量（vector）或一维张量（1D 张量）。一维张量只有一个轴。下面是一个 Numpy 向量

np.array([12, 3, 6, 14, 7])

这个向量有 5 个元素，所以被称为 5D 向量。不要把 5D 向量和 5D 张量弄混！ 5D 向量只有一个轴，沿着轴有 5 个维度，而 5D 张量有 5 个轴（沿着每个轴可能有任意个维度）

矩阵（matrix）：是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，矩阵是二维张量(2D 张量)

np.array([[5, 78, 2, 34, 0], [6, 79, 3, 35, 1], [7, 80, 4, 36, 2]])

向量组成的数组叫作矩阵（matrix）或二维张量（2D 张量）。矩阵有 2 个轴（通常叫作行和列）。你可以将矩阵直观地理解为数字组成的矩形网格。下面是一个 Numpy 矩阵。

3D 张量与n 维张量

将多个矩阵组合成一个新的数组，可以得到一个 3D 张量，你可以将其直观地理解为数字组成的立方体。下面是一个 Numpy 的 3D 张量。

np.array([[[5, 78, 2, 34, 0],
           [6, 79, 3, 35, 1],
           [7, 80, 4, 36, 2]],

          [[5, 78, 2, 34, 0],
           [6, 79, 3, 35, 1],
           [7, 80, 4, 36, 2]],

          [[5, 78, 2, 34, 0],
           [6, 79, 3, 35, 1],
           [7, 80, 4, 36, 2]]])

将多个 3D 张量组合成一个数组，可以创建一个 4D 张量，以此类推。深度学习处理的一般是 0D 到 4D 的张量，但处理视频数据时可能会遇到 5D 张量。

张量属性

张量是由以下三个关键属性来定义的。

• 轴的个数（阶）：例如，3D 张量有 3 个轴，矩阵有 2 个轴。这在 Numpy 等 Python 库中也叫张量的 ndim 。
• 形状（shape）：这是一个整数元组，表示张量沿每个轴的维度大小（元素个数）。例如，前面矩阵示例的形状为 (3, 5) ，3D 张量示例的形状为 (3, 3, 5) 。向量的形状只包含一个元素，比如 (5,) ，而标量的形状为空，即 () 。(张量的形状)
• 数据类型（dtype）：这是张量中所包含数据的类型，例如，张量的类型可以是 float32 、 uint8 、 float64 等。在极少数情况下，你可能会遇到字符（ char ）张量。注意：Numpy（以及大多数其他库）中不存在字符串张量，因为张量存储在预先分配的连续内存段中，而字符串的长度是可变的，无法用这种方式存储。

data:    Tensor的值；

dtype:    Tensor的数据类型；

shape:    Tensor的形状；

device:    Tensor所在的设备(CPU/GPU)；

requires_grad:    是否需要梯度；

grad:    Tensor的梯度；

grad_fn:    创建Tensor的函数；

is_leaf:    是否是叶子节点

数据张量

向量数据：2D 张量，形状为 (samples, features)

这是最常见的数据。对于这种数据集，每个数据点都被编码为一个向量，因此一个数据批量就被编码为 2D 张量（即向量组成的数组），其中第一个轴是样本轴，第二个轴是特征轴。

例子：

• 人口统计数据集，其中包括每个人的年龄、邮编和收入。每个人可以表示为包含 3 个值的向量，而整个数据集包含 100 000 个人，因此可以存储在形状为 (100000, 3) 的 2D张量中。
• 文本文档数据集，我们将每个文档表示为每个单词在其中出现的次数（字典中包含20 000 个常见单词）。每个文档可以被编码为包含 20 000 个值的向量（每个值对应于字典中每个单词的出现次数），整个数据集包含 500 个文档，因此可以存储在形状为(500, 20000) 的张量中。

时间序列数据或序列数据：3D 张量，形状为 (samples, timesteps, features)

当时间（或序列顺序）对于数据很重要时，应该将数据存储在带有时间轴的 3D 张量中。每个样本可以被编码为一个向量序列（即 2D 张量），因此一个数据批量就被编码为一个 3D 张量（见下图）



根据惯例，时间轴始终是第 2 个轴（索引为 1 的轴）。

我们来看几个例子。

• 股票价格数据集。每一分钟，我们将股票的当前价格、前一分钟的最高价格和前一分钟的最低价格保存下来。因此每分钟被编码为一个 3D 向量，整个交易日被编码为一个形状为 (390, 3) 的 2D 张量（一个交易日有 390 分钟），而 250 天的数据则可以保存在一个形状为 (250, 390, 3) 的 3D 张量中。这里每个样本是一天的股票数据。
• 推文数据集。我们将每条推文编码为 280 个字符组成的序列，而每个字符又来自于 128个字符组成的字母表。在这种情况下，每个字符可以被编码为大小为 128 的二进制向量（只有在该字符对应的索引位置取值为 1，其他元素都为 0）。那么每条推文可以被编码为一个形状为 (280, 128) 的 2D 张量，而包含 100 万条推文的数据集则可以存储在一个形状为 (1000000, 280, 128) 的张量中。

图像：4D张量，形状为 (samples, height, width, channels) 或 (samples, channels,height, width) 。

图像通常具有三个维度：高度、宽度和颜色深度。虽然灰度图像（比如 MNIST 数字图像）只有一个颜色通道，因此可以保存在 2D 张量中，但按照惯例，图像张量始终都是 3D 张量，灰度图像的彩色通道只有一维。因此，如果图像大小为 256×256，那么 128 张灰度图像组成的批量可以保存在一个形状为 (128, 256, 256, 1) 的张量中，而 128 张彩色图像组成的批量则可以保存在一个形状为 (128, 256, 256, 3) 的张量中。

图像张量的形状有两种约定：通道在后（channels-last）的约定（在 TensorFlow 中使用）和通道在前（channels-first）的约定（在 Theano 中使用）。Google 的 TensorFlow 机器学习框架将颜色深度轴放在最后： (samples, height, width, color_depth) 。与此相反，Theano将图像深度轴放在批量轴之后： (samples, color_depth, height, width) 。如果采用 Theano 约定，前面的两个例子将变成 (128, 1, 256, 256) 和 (128, 3, 256, 256) 。Keras 框架同时支持这两种格式。

如下图所示是一张普通的水果图片，按照RGB三原色表示，其可以拆分为红色、绿色和蓝色的三张灰度图片，如果将这种表示方法用张量的形式写出来，就是图中最下方的那张表格





图中只显示了前5行、320列的数据，每个方格代表一个像素点，其中的数据[1.0, 1.0, 1.0]即为颜色。假设用[1.0, 0, 0]表示红色，[0, 1.0, 0]表示绿色，[0, 0, 1.0]表示蓝色，那么如图所示，前面5行的数据则全是白色

用四阶张量表示一个包含多张图片的数据集，其中的四个维度分别是：图片在数据集中的编号，图片高度、宽度，以及色彩数据。

视频：5D张量，形状为 (samples, frames, height, width, channels) 或 (samples,frames, channels, height, width)

视频数据是现实生活中需要用到 5D 张量的少数数据类型之一。视频可以看作一系列帧，每一帧都是一张彩色图像。由于每一帧都可以保存在一个形状为 (height, width, color_depth) 的 3D 张量中，因此一系列帧可以保存在一个形状为 (frames, height, width,color_depth) 的 4D 张量中，而不同视频组成的批量则可以保存在一个 5D 张量中，其形状为(samples, frames, height, width, color_depth) 。

举个例子，一个以每秒 4 帧采样的 60 秒 YouTube 视频片段，视频尺寸为 144×256，这个视频共有 240 帧。4 个这样的视频片段组成的批量将保存在形状为 (4, 240, 144, 256, 3)的张量中。总共有 106 168 320 个值！如果张量的数据类型（ dtype ）是 float32 ，每个值都是32 位，那么这个张量共有 405MB。好大！你在现实生活中遇到的视频要小得多，因为它们不以float32 格式存储，而且通常被大大压缩，比如 MPEG 格式。