关于奇妙的 Fibonacci 的一些说明

奇妙的 Fibonacci，多次模拟赛中出现 同时也是 BZOJ 2813

一 Fibonacci 的 GCD

如果 \(F\) 是 Fibonacci 数列，那么众所周知的有 \(\gcd(F_i,F_j)=F_{\gcd(i,j)}\) .

为什么呢？其实是平凡的 .

首先证明两个引理：

Lemma 1

\[F_n=F_{n−m}F_{m−1}+F_{n−m+1}F_m
\]

考虑归纳 .

当 \(m=1\) 时结论显然成立，假设 \(m=k\) 时结论成立，下证 \(m=k+1\) 时结论亦成立：

\[\begin{aligned}F_n&=F_{n−k}F_{k−1}+F_{n−k+1}F_k\\&=F_{n−k}F_{k−1}+(F_{n−k}+F_{n−k-1})F_k\\&=F_{n−k}F_{k−1}+F_{n−k}F_k+F_{n−k-1}F_k\\&=F_{n-k}(F_{k-1}+F_k)+F_{n−k-1}F_k\\&=F_{n-k}F_{k+1}+F_{n-k-1}F_k\end{aligned}
\]

证完了 .

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Lemma 2

\[\gcd(F_n,F_{n+1})=1
\]

归纳，\(n=1\) 显然成立 .

又 \(\gcd(F_i,F_{i+1})=\gcd(F_i,F_i+F_{i−1})=\gcd(F_i,F_{i−1})\)，即可归纳出原命题 .

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回到原题 .

不妨令 \(n<m\)，那么 \(\gcd(F_n,F_m)=\gcd(F_{n−m}F_{m−1}+F_{n−m+1}F_m,F_m)=\gcd(F_{n-m}F_{m-1},F_m)=\gcd(F_{n-m},F_m)\) .

第一个等号用的 Lemma 1，第二个用的辗转相除，第三个用的 Lemma 2 .

那么我们发现这个柿子不就是辗转相除嘛，于是就有 \(\gcd(F_n,F_m) = F_{\gcd(n,m)}\)，证毕 .

二 线性筛约数平方和

为什么题解拿了这么多文字来说 .

https://www.cnblogs.com/CDOI-24374/p/16040275.html

于是问题被在线性时间复杂度内解决