【kuangbin专题】计算几何

1.poj1113 Wall

题意：用一条线把若干个点包起来，并且线距离任何一个点的距离都不小于r。求这条线的最小距离是多少？

分析：这道题的答案是凸包周长加上一个圆周长，即包围凸包的一个圆角多边形，但是没弄明白那些圆角加起来为什么恰好是一个圆。每个圆角是以凸包对应的顶点为圆心，给定的L为半径，与相邻两条边的切点之间的一段圆弧。每个圆弧的两条半径夹角与对应的凸包的内角互补。假设凸包有n条边，则所有圆弧角之和为180°*n-180°*（n-2）=360°。故，围墙周长为=n条平行于凸包的线段+n条圆弧的长度=凸包周长+围墙离城堡距离L为半径的圆周长。

 #include<iostream>

 #include<cstring>

 #include<algorithm>

 #include<cmath>

 using namespace std;

 const int maxn=;

 const double eps=1e-;

 const double pi=acos(-1.0);

 inline double sqr(double x){return x*x;}

 int sgn(double x){

     if (fabs(x)<eps) return ;

     if (x<) return -;

     return ;

 }

 struct point{

     double x,y;

     point(){}

     point(double _x,double _y):x(_x),y(_y){}

     //判断两点相同

     bool operator ==(const point &b) const{

         return sgn(x-b.x)== && sgn(y-b.y)==;

     }

     //

     point operator -(const point &b) const{

         return point(x-b.x,y-b.y);

     }

     //叉积

     double operator ^(const point &b) const{

         return x*b.y-y*b.x;

     }

     //点积

     double operator *(const point &b) const{

         return x*b.x+y*b.y;

     }

     //重载小于号   （求最左下角的点

     bool operator <(const point &b)const{

         return sgn(x-b.x)== ? sgn(y-b.y)< : x<b.x;

     }

 };

 struct line{

     point s,e;

     line(){}

     line(point _s,point _e):s(_s),e(_e){}

 };

 double dis(point a,point b){

     return sqrt(sqr(a.x-b.x)+sqr(a.y-b.y));

 }

 struct polygon{

     int n;

     point p[maxn];

     line l[maxn];

     void add(point q){

         p[n++]=q;

     }

     void getline(){

         for (int i=;i<n;i++)

             l[i]=line(p[i],p[(i+)%n]);

     }

     struct cmp{

         point p;

         cmp(const point &p0):p(p0){}

         bool operator ()(const point &aa,const point &bb){

             point a=aa,b=bb;

             int d=sgn((a-p)^(b-p));

             if (d==){

                 return sgn(dis(a,p)-dis(b,p))<;

             }

             return d>;

         }

     };

     //极角排序  先找到左下角的点

     //重载好point的'<'

     void norm(){

         point mi=p[];

         for (int i=;i<n;i++) mi=min(mi,p[i]);

         sort(p,p+n,cmp(mi));

     }

     //得到凸包，点编号为0--n-1

     void Graham(polygon &convex){

         norm();

         int &top=convex.n;

         top=;

         if (n==){

             top=; convex.p[]=p[]; return ;

         }

         if (n==){

             top=; convex.p[]=p[]; convex.p[]=p[];

             if (convex.p[]==convex.p[]) top--;

             return ;

         }

         convex.p[]=p[]; convex.p[]=p[]; top=;

         for (int i=;i<n;i++){

             while (top> && sgn((convex.p[top-]-convex.p[top-])^(p[i]-convex.p[top-]))<=) top--;

             convex.p[top++]=p[i];

         }

         if (convex.n== && (convex.p[]==convex.p[])) convex.n--;

     }

 };

 polygon C;

 int main(){

     int n,L; cin >> n >> L;

     double x,y;

     for (int i=;i<n;i++){

         cin >> x >> y;

         C.add(point(x,y));

     }

     polygon ans;

     C.Graham(ans);

     ans.getline();

     double res=;

     for (int i=;i<ans.n;i++) res+=dis(ans.l[i].s,ans.l[i].e);

     res+=*pi*L;

     printf("%d\n",(int)(res+0.5));

     return ;

 }

poj1113

（为了套板子，写的很繁琐）

2.poj2007 Scrambled Polygon

题目：http://poj.org/problem?id=2007

题意：求一个凸多边形的凸包。要求起始点为输入的第一个点。

分析：rt。

 #include<iostream>

 #include<algorithm>

 #include<cstring>

 #include<cmath>

 using namespace std;

 const double eps=1e-;

 const int maxn=;

 inline double sqr(int x){return x*x*1.0;}

 int sgn(double x){

     if (fabs(x)<eps) return ;

     if (x<) return -;

     return ;

 }

 struct point{

     int x,y;

     point(){}

     point(int _x,int _y):x(_x),y(_y){}

     bool operator ==(const point &b)const{

         return (x==b.x && y==b.y);

     }

     point operator -(const point &b)const{

         return point(x-b.x,y-b.y);

     }

     int operator ^(const point &b)const{

         return x*b.y-y*b.x;

     }

     int operator *(const point &b)const{

         return x*b.x+y*b.y;

     }

     //重载小于号   （求最左下角的点

     bool operator <(const point &b)const{

         return sgn((x-b.x)*1.0)== ? sgn((y-b.y)*1.0)< : x<b.x;

     }

 };

 double dis(point a,point b){

     return sqrt(sqr(a.x-b.x)+sqr(a.y-b.y));

 }

 struct polygon{

     int n;

     point p[maxn];

     void add(point q){

         p[n++]=q;

     }

     struct cmp{

         point p;

         cmp(const point &p0):p(p0){}

         bool operator ()(const point &aa,const point &bb){

             point a=aa,b=bb;

             int k=(a-p)^(b-p);int d;

             if (k==) d=;else if (k<) d=-; else d=;

             if (d==){

                 return sgn(dis(a,p)-dis(b,p))<;

             }

             return d>;

         }

     };

     //极角排序  先找到左下角的点

     //重载好point的'<'

     void norm(){

         point mi=p[];

         for (int i=;i<n;i++) mi=min(mi,p[i]);

         sort(p,p+n,cmp(mi));

     }

     //得到凸包，点编号为0--n-1

     void Graham(polygon &convex){

         norm();

         int &top=convex.n;

         top=;

         if (n==){

             top=; convex.p[]=p[]; return ;

         }

         if (n==){

             top=; convex.p[]=p[]; convex.p[]=p[];

             if (convex.p[]==convex.p[]) top--;

             return ;

         }

         convex.p[]=p[]; convex.p[]=p[]; top=;

         for (int i=;i<n;i++){

             while (top> && sgn(((convex.p[top-]-convex.p[top-])^(p[i]-convex.p[top-]))*1.0)<=) top--;

             convex.p[top++]=p[i];

         }

         if (convex.n== && (convex.p[]==convex.p[])) convex.n--;

     }

 };

 polygon C;

 int main(){

     int x,y; point p;

     C.n=;

     cin >> x >> y; p=point(x,y); C.add(p);

     while (cin >> x >> y) C.add(point(x,y));

     polygon ans;

     C.Graham(ans); int k;

     for (int i=;i<ans.n;i++) if (ans.p[i]==p){k=i;break;}

     for (int i=;i<ans.n;i++){

         printf("(%d,%d)\n",ans.p[(k+i)%ans.n].x,ans.p[(k+i)%ans.n].y);

     }

     return ;

 }

poj2007

3.poj1228

　　题目：http://poj.org/problem?id=1228

题意：输入一个凸包上的点（没有凸包内部的点，要么是凸包顶点，要么是凸包边上的点），判断这个凸包是否稳定。所谓稳定就是判断能不能在原有凸包上加点。

分析：问凸包是否稳定。

 #include<iostream>

 #include<cstring>

 #include<algorithm>

 #include<cmath>

 using namespace std;

 const double eps=1e-;

 const int maxn=;

 int sgn(double x){

     if (fabs(x)<eps) return ;

     if (x<) return -;

     return ;

 }

 struct point{

     double x,y;

     point(){}

     point(double _x,double _y):x(_x),y(_y){}

     point operator -(const point &b)const{

         return point(x-b.x,y-b.y);

     }

     double operator ^(const point &b)const{

         return x*b.y-y*b.x;

     }

 }p[maxn],pp[maxn];

 bool cmp(point a,point b) {return a.x < b.x || (a.x == b.x && a.y < b.y);}

 int convexhull(point p[],int n,point pp[]){

     sort(p,p+n,cmp);

     int m=;

     for (int i=;i<n;i++){

         while (m> && ((pp[m-]-pp[m-])^(p[i]-pp[m-]))<) m--;

         pp[m++]=p[i];

     }

     int k=m;

     for (int i=n-;i>=;i--){

         while (m>k && ((pp[m-]-pp[m-])^(p[i]-pp[m-]))<) m--;

         pp[m++]=p[i];

     }

     return m-;

 }

 bool check(point p[],int n){

     for (int i=;i<n-;i++){

         if (((p[i-]-p[i])^(p[i+]-p[i]))!= &&

             ((p[i]-p[i+])^(p[i+]-p[i+]))!=) return false;  //保证至少有三个点在同一条边上

     }

     return true;

 }

 int main(){

     int t,n; double x,y; cin >> t;

     while (t--){

         cin >> n;

         for (int i=;i<n;i++) cin >> p[i].x >> p[i].y;

         if (n<){cout << "NO\n";continue;}

         int cnt=convexhull(p,n,pp);

         if (check(pp,cnt)) cout << "YES\n"; else cout << "NO\n";

     }

     return ;

 }

poj1228

5.poj3348 Cows

题目：http://poj.org/problem?id=3348

题意：给出一些点圈出一个最大面积每50平方养一头牛问最多能养多少牛。

分析：凸包+多边形面积。

 #include<iostream>

 #include<cstring>

 #include<algorithm>

 #include<cmath>

 using namespace std;

 const int maxn=;

 inline int sqr(int x){return x*x;}

 struct point{

     int x,y;

     point(){}

     point(int _x,int _y):x(_x),y(_y){}

     //判断两点相同

     bool operator ==(const point &b) const{

         return x-b.x== && y-b.y==;

     }

     //

     point operator -(const point &b) const{

         return point(x-b.x,y-b.y);

     }

     //叉积

     int operator ^(const point &b) const{

         return x*b.y-y*b.x;

     }

     //点积

     int operator *(const point &b) const{

         return x*b.x+y*b.y;

     }

     //重载小于号   （求最左下角的点

     bool operator <(const point &b)const{

         return x-b.x==?y-b.y<:x<b.x;

     }

 };

 struct line{

     point s,e;

     line(){}

     line(point _s,point _e):s(_s),e(_e){}

 };

 int dis(point a,point b){

     return (int)sqrt(1.0*sqr(a.x-b.x)+1.0*sqr(a.y-b.y));

 }

 struct polygon{

     int n;

     point p[maxn];

     void add(point q){p[n++]=q;}

     struct cmp{

         point p;

         cmp(const point &p0):p(p0){}

         bool operator ()(const point &aa,const point &bb){

             point a=aa,b=bb;

             int k=(a-p)^(b-p);

             if (k==){

                 return dis(a,p)-dis(b,p)<;

             }

             return k>;

         }

     };

     //极角排序  先找到左下角的点

     //重载好point的'<'

     void norm(){

         point mi=p[];

         for (int i=;i<n;i++) mi=min(mi,p[i]);

         sort(p,p+n,cmp(mi));

     }

     //得到凸包，点编号为0--n-1

     void Graham(polygon &convex){

         norm();

         int &top=convex.n;

         top=;

         if (n==){

             top=; convex.p[]=p[]; return ;

         }

         if (n==){

             top=; convex.p[]=p[]; convex.p[]=p[];

             if (convex.p[]==convex.p[]) top--;

             return ;

         }

         convex.p[]=p[]; convex.p[]=p[]; top=;

         for (int i=;i<n;i++){

             while (top> && ((convex.p[top-]-convex.p[top-])^(p[i]-convex.p[top-]))<=) top--;

             convex.p[top++]=p[i];

         }

         if (convex.n== && (convex.p[]==convex.p[])) convex.n--;

     }

     int getarea(){

         int sum=;

         for (int i=;i<n;i++) sum+=(p[i]^(p[(i+)%n]));

         return sum/;

     }

 };

 polygon C;

 int main(){

     int n,x,y; cin >> n; C.n=;

     for (int i=;i<n;i++){

         cin >> x >> y;

         C.add(point(x,y));

     }

     polygon ans; C.Graham(ans);

     cout << ans.getarea()/ << endl;

     return ;

 }

poj3348

6.poj1259/hdoj6219

题意：给出n个点，求出最大面积的凸包且凸包内不包含原点集中的点。

分析：rt。求最大面积空凸包。

 #include<iostream>

 #include<cstring>

 #include<algorithm>

 #include<cmath>

 using namespace std;

 const double eps=1e-;

 const int maxn=;

 inline double sqr(double x){return x*x;}

 int sgn(double x){

     if (fabs(x)<eps) return ;

     if (x<) return -;

     return ;

 }

 struct point{

     double x,y;

     point(){}

     point(double _x,double _y):x(_x),y(_y){}

     //判断两点相同

     bool operator ==(const point &b) const{

         return sgn(x-b.x)== && sgn(y-b.y)==;

     }

     //

     point operator -(const point &b) const{

         return point(x-b.x,y-b.y);

     }

     //叉积

     double operator ^(const point &b) const{

         return x*b.y-y*b.x;

     }

     //点积

     double operator *(const point &b) const{

         return x*b.x+y*b.y;

     }

     //重载小于号   （求最左下角的点

     bool operator <(const point &b)const{

         return sgn(x-b.x)== ? sgn(y-b.y)< : x<b.x;

     }

 }p[maxn],pp[maxn];

 point tmp;

 double dp[maxn][maxn];

 double empty_convex(point p[],int n,point o){

     double ans=;

     for (int i=;i<n;i++) for (int j=;j<n;j++) dp[i][j]=;

     for (int i=;i<n;i++){

         int j=i-;

         while (j>= && ((p[i]-o)^(p[j]-o))==) j--;

         bool flag=(j==i-);

         while (j>=){

             int k=j-;

             while (k>= && ((p[i]-p[k])^(p[j]-p[k]))>) k--;

             double area=fabs((p[i]-o)^(p[j]-o))/2.0;

             if (k>=) area+=dp[j][k];

             if (flag) dp[i][j]=area;

             ans=max(ans,area);

             j=k;

         }

         if (flag){

             for (int j=;j<i;j++) dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-]);

         }

     }

     return ans;

 }

 double dist(point a,point b){

     return sqrt((a-b)*(a-b));

 }

 bool cmp_angle(point a,point b){

     double res=(a-tmp)^(b-tmp);

     if (res) return res>;

     return dist(a,tmp)<dist(b,tmp);

 }

 double largest_empty_convex(point p[],int n){

     double ans=;

     for (int i=;i<n;i++){

         tmp=p[i];

         int cnt=;

         for (int j=;j<n;j++){

             if (p[j].y>tmp.y || p[j].y==tmp.y && p[j].x>tmp.x) pp[cnt++]=p[j];

         }

         sort(pp,pp+cnt,cmp_angle);  //根据极角排序

         ans=max(ans,empty_convex(pp,cnt,tmp));

     }

     return ans;

 }

 int main(){

     int t,n; cin >> t;

     while (t--){

         cin >> n;

         for (int i=;i<n;i++) cin >> p[i].x >> p[i].y;

         double ans=largest_empty_convex(p,n);

         printf("%.1f\n",ans);

     }

     return ;

 }

poj1259

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