树及其衍生算法（Trees and tree algorithms）

1，二叉树（Binary tree）

　　　　二叉树：每一个节点最多两个子节点，如下图所示：

　　　　　　

　　　　相关概念：节点Node，路径path，根节点root，边edge，子节点 children，父节点parent，兄弟节点sibling, 子树subtree，叶子节点leaf node, 度level,树高hight

节点Node：
路径path：从一个节点到拧一个节点间的边
根节点root，
边edge：节点间的连线
子节点 children，
父节点parent，
兄弟节点sibling,
子树subtree，
叶子节点leaf node,
度level：从当前节点到根节点的路径中边的数量
高度 hight：树中所有节点的最大level

　　　　二叉树可以通过多级列表的形式实现,多级列表形式如下，根节点r，有两个子节点a , b，且a, b节点没有子节点。

　　　　　　　　　　　mytree =[ r,

　　　　　　　　　　　　　　　　[ a, [ ], [ ] ],  [ b, [ ], [ ] ]

　　　　　　　　　　　　　　　 ]

　　　　python实现代码如下：

#coding:utf-8

#多级列表实现
def binaryTree(r):
    return [r,[],[]]  #root[]为根节点,root[1]左子树,root[2]右子树

def insertLeftTree(root,newbranch):
    t = root.pop(1)
    if len(t)>1:
        root.insert(1, [newbranch, t, []])
    else:
        root.insert(1,[newbranch, [], []])
    return root

def insertRightTree(root,newbranch):
    t = root.pop(2)
    if len(t)>1:
        root.insert(2, [newbranch, [], t])
    else:
        root.insert(2,[newbranch, [], []])
    return root
def getRootVal(root):
    return root[0]

def setRootVal(root,val):
    root[0]= val

def getLeftChildren(root):
    return root[1]

def getRightChildren(root):
    return root[2]

r = binaryTree(3)
insertLeftTree(r,4)
insertLeftTree(r,5)
insertRightTree(r,6)
insertRightTree(r,7)
l = getLeftChildren(r)
print(l)

setRootVal(l,9)
print(r)
insertLeftTree(l,11)
print(r)
print(getRightChildren(getRightChildren(r)))

多级列表形式

　　　　二叉树可以通过节点的形式实现，如下所示：

　　　　　　　　　　

　　　　python实现代码如下：

class BinaryTree(object):
    def __init__(self,value):
        self.key = value
        self.leftChild = None
        self.rightChild = None

    def insertLeft(self,newNode):
        if self.leftChild != None:
            temp = BinaryTree(newNode)
            temp.leftChild = self.leftChild
            self.leftChild = temp
        else:
            self.leftChild = BinaryTree(newNode)

    def insertRight(self,newNode):
        if self.rightChild != None:
            temp = BinaryTree(newNode)
            temp.rightChild= self.rightChild
            self.rightChild = temp
        else:
            self.rightChild = BinaryTree(newNode)

    def getRootVal(self):
        return self.key

    def setRootVal(self,value):
        self.key = value

    def getLeftChild(self):
        return self.leftChild

    def getRightChild(self):
        return self.rightChild

节点形式

2，二叉树的应用

　　2.1 解析树（parse tree）

　　　　解析树常用于表示真实世界的结构表示，如句子和数学表达式。如下图是（（7+3）*（5-2））的解析树表示，根据解析树的层级结构，从下往上计算，能很好的代替括号的表达式中括号的作用

　　　　将一个全括号数学表达式转化为解析树的过程如下：

　　　　　　遍历表达式：

　　　　　　　　　　1，若碰到“（”，为当前节点插入左节点，并移动到左节点

　　　　　　　　　　2，若碰到 + ,- ,* , /，设置当前节点的值为该符号，并为当前节点插入右节点，并移动到右节点

　　　　　　　　　　3，若碰到数字，设置当前节点的值为该数字，并移动到其父节点

　　　　　　　　　　4，若碰到“）”，移动到当前节点的父节点

　　　　　　python实现代码如下：（Stack 参见数据结构之栈）

from stackDemo import Stack  #参见数据结构之栈

def buildParseTree(expstr):
    explist = expstr.split()
    s = Stack()
    t = BinaryTree('')
    s.push(t)
    current = t
    for token in explist:
        #token = token.strip()
        if token =='(':
            current.insertLeft('')
            s.push(current)
            current = current.getLeftChild()
        elif token in ['*','/','+','-']:
            current.setRootVal(token)
            current.insertRight('')
            s.push(current)
            current = current.getRightChild()
        elif token not in ['(','*','/','+','-',')']:
            current.setRootVal(token)
            current = s.pop()
        elif token==')':
            current = s.pop()
        else:
            raise ValueError
    return t

t = buildParseTree("( ( 10 + 5 ) * 3 )")

构造解析树

　　　　计算解析树：数学表达式转化为解析树后，可以对其进行计算，python代码如下：　

import operator
def evaluate(parseTree):
    operators={'+':operator.add,'-':operator.sub,'*':operator.mul,'/':operator.div }
    rootval = parseTree.getRootVal()
    left = parseTree.getLeftChild()
    right = parseTree.getRightChild()

    if left and right:
        fn = operators[rootval]
        return fn(evaluate(left),evaluate(right))
    else:
        return parseTree.getRootVal()

计算解析树

　　　　中序遍历解析树，可以将其还原为全括号数学表达式，python代码如下：

#解析树转换为全括号数学表达式
def printexp(tree):
    val = ''
    if tree:
        val = '('+printexp(tree.getLeftChild())
        val = val +str(tree.getRootVal())
        val = val +printexp(tree.getRightChild())+')'
        if tree.getLeftChild()==None and tree.getRightChild()==None:
            val = val.strip('()')
    return val

t = buildParseTree("( ( 10 + 5 ) * 3 )")
exp = printexp(t)
print exp

 3，树的遍历

　　　　树的遍历包括前序遍历(preorder)，中序遍历(inorder)和后序遍历(postorder).

　　　　前序遍历：先访问根节点，再访问左子树，最后访问右子树（递归），python代码实现如下：

def preorder(tree):
    if tree:
        print tree.getRootVal()
        preorder(tree.getLeftChild())
        preorder(tree.getRightChild())

#定义在类中的前序遍历
# def preorder(self):
#     print self.key
#     if self.leftChild:
#         self.leftChild.preorder()
#     if self.rightChild:
#         self.rightChild.preorder()

preorder

　　　　中序遍历：先访问左子树，再访问根节点，最后访问右子树（递归），python代码实现如下：

#中序遍历inorder
def inorder(tree):
    if tree:
        preorder(tree.getLeftChild())
        print tree.getRootVal()
        preorder(tree.getRightChild())

　　　　后续遍历：先访问左子树，再访问右子树，最后访问根节点，python代码实现如下：

def postorder(tree):
    if tree :
        postorder(tree.getLeftChild())
        postorder(tree.getRightChild())
        print(tree.getRootVal())

　　   树的层次遍历，树的深度，前序遍历和中序遍历构建树，判断两棵树是否相同：

class TreeNode(object):
    def __init__(self, data, leftchild=None, rightchild=None):
        self.data = data
        self.leftchild = leftchild
        self.rightchild = rightchild
    def preorder(self):
        print self.data
        if self.leftchild:
            self.leftchild.preorder()
        if self.rightchild:
            self.rightchild.preorder()
    def midorder(self):
        if self.leftchild:
            self.leftchild.preorder()
        print self.data
        if self.rightchild:
            self.rightchild.preorder()
t1 = TreeNode(,TreeNode(,TreeNode(,TreeNode()),TreeNode()),TreeNode(,TreeNode(),TreeNode()))    

# #层次遍历
def lookup(root):
    row=[root]
    while row:
        print [x.data for x in row]
        temp=[]
        for item in row:
            if item.leftchild:
                temp.append(item.leftchild)
            if item.rightchild:
                temp.append(item.rightchild)
        row = temp
lookup(t1)

#树的深度
def get_height(root):
    if root ==None:
        return
    return max(get_height(root.leftchild),get_height(root.rightchild))+
print(get_height(t1))

#根据前序遍历和中序遍历构建树
pre=[,,,,,,,]  # t1.preorder()
mid=[,,,,,,,]  # t1.midorder()
def build(pre,mid):
    if not pre:
        return None
    node = TreeNode(pre[])
    index = mid.index(pre[])
    node.leftchild = build(pre[:index+],mid[:index])
    node.rightchild = build(pre[index+:],mid[index+:])
    return node
tt = build(pre,mid)
tt.preorder()

#判断两棵树是否相同
t1 = TreeNode(,TreeNode(,TreeNode(,TreeNode()),TreeNode()),TreeNode(,TreeNode(),TreeNode()))
t2 = TreeNode(,TreeNode(,TreeNode(,TreeNode()),TreeNode()),TreeNode(,TreeNode(),TreeNode()))
t3 = TreeNode(,TreeNode(,TreeNode(,TreeNode()),TreeNode()),TreeNode(,TreeNode(),TreeNode()))
def is_same_tree(t1,t2):
    if t1==None and t2==None:
        return True
    elif t1 and t2:
        return is_same_tree(t1.leftchild,t2.leftchild) and t1.data==t2.data and is_same_tree(t1.rightchild,t2.rightchild)
    else:
        return False
print(is_same_tree(t1,t2))
print(is_same_tree(t1,t3))

　　　morris 遍历：上面的前中后序遍历方法都使用了递归，需要额外的空间，morris 遍历为非递归，空间复杂度为O(1), 当二叉树数据量庞大时更加适用

　　　　　　Morris遍历算法的步骤如下：（中序遍历）

　　　　　　　　1， 根据当前节点，找到其前序节点，如果前序节点的右孩子是空，那么把前序节点的右孩子指向当前节点，然后进入当前节点的左孩子。

　　　　　　　　2， 如果当前节点的左孩子为空，打印当前节点，然后进入右孩子。

　　　　　　　　3，如果当前节点的前序节点其右孩子指向了它本身，那么把前序节点的右孩子设置为空，打印当前节点，然后进入右孩子。

前序节点：给定某个节点，在中序遍历中，直接排在它前面的节点，我们称之为该节点的前序节点

　　　  前序节点寻找算法：

　　　　　　如果该节点有左孩子，那么从左孩子开始，沿着左孩子的右孩子指针一直向下走到底，得到的节点就是它的前序节点

　　　　　　如果左孩子的右节点指针是空，那么左孩子就是当前节点的前序节点

　　　　　　如果当前节点没有左孩子，并且它是其父节点的右孩子，那么它的前序节点就是它的父节点

　　　　　　如果当前节点没有左孩子，并且它是父节点的左孩子，那么它没有前序节点，并且它自己就是首节点。

　　　python实现morris遍历代码如下：　　

class TreeNode(object):
    def __init__(self, data, leftchild=None, rightchild=None):
        self.data = data
        self.leftchild = leftchild
        self.rightchild = rightchild
    def preorder(self):
        print self.data
        if self.leftchild:
            self.leftchild.preorder()
        if self.rightchild:
            self.rightchild.preorder()
    def midorder(self):
        if self.leftchild:
            self.leftchild.midorder()
        print self.data
        if self.rightchild:
            self.rightchild.midorder()
t1 = TreeNode(,TreeNode(,TreeNode(,TreeNode()),TreeNode()),TreeNode(,TreeNode(),TreeNode()))    

#morris遍历
def morris(root):
    if root==None:
        return None
    cur=root
    while cur!=None:
        if cur.leftchild==None:
            print cur.data
            cur = cur.rightchild
        else:
            pre = get_predecessor(cur)
            if pre.rightchild==None:
                pre.rightchild=cur
                cur = cur.leftchild
            elif(pre.rightchild==cur):
                pre.rightchild=None
                print cur.data
                cur = cur.rightchild
def get_predecessor(node):
    pre = node
    if pre.leftchild!=None:
        pre = pre.leftchild
        while pre.rightchild!=None and pre.rightchild!=node:
            pre = pre.rightchild
    return pre
t1.midorder()
print("="*)
morris(t1)

morris遍历（中序）

　　　　参考：二叉树的morris遍历

　　　　　　morris方法遍历二叉树　　　　

4，优先队列和二叉堆（priority queue and binary heap）

　　　　优先队列：优先队列和队列类似，enqueue操作能加入元素到队列末尾，dequeue操作能移除队列首位元素，不同的是优先队列的元素具有优先级，首位元素具有最高或最小优先级，因此当进行enqueue操作时，还需要根据元素的优先级将其移动到适合的位置。优先队列一般利用二叉堆来实现，其enqueue和dequeue的复杂度都为O(logn)。（也可以用list来实现，但list的插入复杂度为O(n)，再进行排序的复杂度为O(n logn)）

　　　　二叉堆：二叉堆是一颗完全二叉树，当父节点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值时为最大堆，当父节点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值时为最小堆。（完全二叉树：除最后一层外，每一层上的节点数均达到最大值；在最后一层上只缺少右边的若干结点；满二叉树：除叶子结点外的所有结点均有两个子结点。节点数达到最大值。所有叶子结点必须在同一层上）

　　　　最小堆示例及操作如下：（父节点的值总是小于或等于子节点）

BinaryHeap() #创建空的二叉堆
insert(k)   #插入新元素
findMin()    #返回最小值，不删除
delMin()     #返回最小值，并删除
isEmpty()
size()
buildHeap(list)  #通过list创建二叉堆

　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　对于完全二叉树，若根节点的序号为p，则左右节点的序号应该为2p和2p+1，结合上图可以发现，可以用一个队列（首位元素为0）来表示二叉堆的结构。最小堆的python实现代码如下：（heaplist中第一个元素为0，不会用到，只是为了保证二叉堆的序列从1开始，方便进行除和乘2p，2p+1）

#coding:utf-8

class BinaryHeap(object):
    def __init__(self):
        self.heapList=[0]
        self.size = 0

    #将元素加到完全二叉树末尾，然后再根据其大小调整其位置
    def insert(self,k):
        self.heapList.append(k)
        self.size = self.size+1
        self._percUp(self.size)

    # 如果当前节点比父节点小，和父节点交换位置，一直向上重复该过程
    def _percUp(self,size):
        i = size
        while i>0:
            if self.heapList[i]<self.heapList[i//2]:
                temp = self.heapList[i]
                self.heapList[i] = self.heapList[i//2]
                self.heapList[i//2] = temp
            i=i//2

    # 将根元素返回，并将最末尾元素移动到根元素保持完全二叉树结构不变，再根据大小，将新的根元素向下移动到合适的位置
    def delMin(self):
        temp = self.heapList[1]
        self.heapList[1]=self.heapList[self.size]
        self.size = self.size-1
        self.heapList.pop()
        self._percDown(1)
        return temp

    # 如果当前节点比最小子节点大，和该子节点交换位置，一直向下重复该过程
    def _percDown(self,i):
        while (2*i)<=self.size:
            mc = self._minChild(i)
            if self.heapList[i]>self.heapList[mc]:
                temp = self.heapList[i]
                self.heapList[i]=self.heapList[mc]
                self.heapList[mc] =temp
            i = mc

    #返回左右子节点中较小子节点的位置
    def _minChild(self,i):
        if (2*i+1)>self.size:
            return 2*i
        else:
            if self.heapList[2*i] < self.heapList[2*i+1]:
                return 2*i
            else:
                return 2*i+1

    #通过一个list建立二叉堆
    def buildHeap(self,list):
        i = len(list)//2
        self.heapList = [0]+list[:]
        self.size = len(list)
        while i>0:
            self._percDown(i)
            i = i-1

　　　　 insert()插入过程示例图如下：将元素加到完全二叉树末尾，然后再根据其大小调整其位置

　　　　delMin()操作过程示例如下：将根元素返回，并将最末尾元素移动到根元素保持完全二叉树结构不变，再根据大小，将新的根元素向下移动到合适的位置

　　　　insert和delMin的复杂度都为O(log n), buildHeap的复杂度为O(n)，利用二叉堆对list进行排序，复杂度为O(n log n)，代码如下：

#通过list构造二叉堆，然后不断将堆顶元素返回，就得到排序好的list
alist = [54,26,93,17,98,77,31,44,55,20]
h = BinaryHeap()
h.buildHeap(alist)
s=[]
while h.size>0:
    s.append(h.delMin())
print s

#堆排序
def build_min_heap(alist):
    size = len(alist)
    hq = []+alist
    i = len(alist)//
    while i>:
        movedown(hq,i,size)
        i = i-
    return hq
def movedown(hq,i,size):
    while (*i)<=size:
        small = *i
        if *i+<=size and hq[*i]>hq[*i+]:
            small = *i+
        if hq[i]>hq[small]:
            hq[i],hq[small] = hq[small],hq[i]
        i = small

def heappop(hq):
    temp = hq[]
    hq[]=hq[-]
    hq.pop()
    movedown(hq,,len(hq)-)
    return temp    

alist = [,,,,,,,,,,,,,,]
q = build_min_heap(alist)
t = []
for i in range(len(alist)):
    t.append(heappop(q))
print t

堆排序

#coding:utf-

#堆排序
def build_max_heap(alist):
    length = len(alist)
    for i in range(length/,-,-):
        heapify(alist,i,length)

def heapify(alist,i,length):
    left = *i+
    right = *i+
    largest = i
    if left<length and alist[left]>alist[largest]:
        largest = left
    if right<length and alist[right]>alist[largest]:
        largest = right
    if largest!=i:
        swap(alist,i,largest)
        heapify(alist,largest,length)
def swap(alist,i,j):
    alist[i],alist[j] = alist[j],alist[i]

def heapsort(alist):
    length = len(alist)
    build_max_heap(alist)
    for i in range(len(alist)-,,-):
        swap(alist,,i)
        length = length-
        heapify(alist,,length)
    return alist
alist = [,,,,,,,,,,,,,,,,,]
print(heapsort(alist))

最大堆排序列表

5，二叉搜索树（Binary Search Tree, bst）

　　　　二叉搜索树：左节点的值，总是小于其父节点的值，右节点的值总是大于其父节点的值(bst property)。如下图所示：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　利用python实现二叉搜索树代码如下：

#二叉查找树
class TreeNode(object):
    def __init__(self,value,leftchild=None,rightchild=None,parent=None):
        self.value = value
        self.leftchild = leftchild
        self.rightchild = rightchild
        self.parent = parent

    def is_leaf(self):
        return not self.leftchild and not self.rightchild

    def is_leftchild(self):
        return self.parent.leftchild==self

    def is_rightchild(self):
        return self.parent.rightchild==self

    def has_both_children(self):
        return self.leftchild and self.rightchild

    def has_left_child(self):
        return self.leftchild

    def has_right_child(self):
        return self.rightchild

    def delete(self):
        if self.is_leftchild():
            self.parent.leftchild=None
        elif self.is_rightchild():
            self.parent.rightchild=None

class BinarySearchTree(object):
    def __init__(self,node=None):
        self.root=node
        self.size = 

    def length(self):
        return self.szie

    def insert(self,value):
        if self.root==None:
            self.root = TreeNode(value)
        else:
            self._insert(self.root,value)
    def _insert(self,node,value):
        if node.value>value:
            if node.leftchild:
                self._insert(node.leftchild,value)
            else:
                temp = TreeNode(value)
                node.leftchild=temp
                temp.parent = node
        elif node.value<value:
            if node.rightchild:
                self._insert(node.rightchild,value)
            else:
                temp = TreeNode(value)
                node.rightchild=temp
                temp.parent = node
        else:
            print("%s已经存在"%value)

    def search(self,value):
        if self.root==None:
            return None
        else:
            return self._search(self.root,value)

    def _search(self,node,value):
        if node==None:
            return None
        if node.value>value:
            return self._search(node.leftchild,value)
        elif node.value<value:
            return self._search(node.rightchild,value)
        else:
            return node

    def delete(self,value):
        node = self._search(self.root,value)
        if node==None:
            return None
        if node.is_leaf():    #删除节点为叶子结点
            node.delete()
        elif node.has_both_children():  #删除节点有两个孩子
            successor = self.find_min(node)
            node.value = successor.value
            if successor.is_leaf():
                successor.delete()
            else:  #successor 只可能有一个右节点
                if successor.is_leftchild():
                    successor.parent.leftchild = successor.rightchild
                elif successor.is_rightchild():
                    successor.parent.rightchild = successor.rightchild
                successor.rightchild.parent = successor.parent
        else:                         #删除节点只有一个孩子
            if node.has_left_child():
                if node.is_leftchild():
                    node.parent.leftchild=node.leftchild
                    node.leftchild.parent=node.parent
                elif node.is_rightchild:
                    node.parent.rightchild = node.leftchild
                    node.leftchild.parent = node.parent
            elif node.has_right_child():
                if node.is_leftchild():
                    node.parent.leftchild = node.rightchild
                    node.rightchild.parent = node.parent
                elif node.is_rightchild():
                    node.parent.rightchild = node.rightchild
                    node.rightchild.parent = node.parent    

    def find_min(self,node):
        cur = node.rightchild
        while cur.leftchild:     #右子树的最小值
            cur = cur.leftchild
        return cur

    def traverse(self):
        row=[self.root]
        while row:
            print([i.value for i in row])
            temp=[]
            for node in row:
                if node.leftchild:
                    temp.append(node.leftchild)
                if node.rightchild:
                    temp.append(node.rightchild)
            row = temp

if __name__=='__main__':
    root = BinarySearchTree()
    root.insert()
    root.insert()
    root.insert()
    root.insert()
    root.insert()
    root.insert()
    root.insert()
    root.traverse()
    root.insert()
    root.insert()
    print(root.search())
    print(root.search())
    print("*"*)
    root.traverse()
    # print("delete leaf")
    # root.delete()
    # root.traverse()
    # print("delete node with one child")
    # root.delete()
    # root.traverse()
    print("delete node with two children")
    root.delete()
    root.traverse()

二叉查找树

　　　　上述代码中，进行节点删除时注意有三种情况：

　　　　　　   删除节点为叶子结点：直接删除节点，然后将其父节点的左子节点或右子节点设为None

　　　　　　   删除节点有一个孩子节点：利用子节点代替删除节点原来的位置

　　　　　　   删除节点有两个孩子节点：找到删除节点的后继节点（其左子树的最右边节点，或者是其右子树的最左边节点），利用后继节点代替该节点的位置

　　　　利用二叉搜索树可以实现map（字典），常用操作如下：

Map()   # 创建字典
put(key,val)    #  字典中插入数据
get(key)        #  取键值
del                 # 删除
len()              # 求长度
in              #  是否存在

　　　　python实现map代码如下：

#coding:utf-8

class TreeNode(object):
    def __init__(self,key, value, leftChild=None,rightChild=None,parent=None):
        self.key = key
        self.value = value
        self.leftChild = leftChild
        self.rightChild = rightChild
        self.parent = parent
        self.balanceFactor =0

    def hasLeftChild(self):
        return self.leftChild

    def hasRightChild(self):
        return self.rightChild

    def isLeftChild(self):
        return self.parent and self.parent.leftChild==self

    def isRightChild(self):
        return self.parent and self.parent.rightChild==self

    def isRoot(self):
        return not self.parent

    def isLeaf(self):
        return not (self.leftChild or self.rightChild)

    def hasAnyChildren(self):
        return self.leftChild or self.rightChild

    def hasBothChildren(self):
        return self.leftChild and self.rightChild

    def replaceNodeData(self,key,value,lc=None,rc=None):
        self.key=key
        self.value = value
        self.leftChild = lc
        self.rightChild = rc
        if self.hasLeftChild():
            self.leftChild.parent = self
        if self.hasRightChild():
            self.rightChild = self

    def __iter__(self):
        if self:
            if self.hasLeftChild():
                for elem in self.leftChild:  #调用self.leftChiLd.__iter__()，所以此处是递归的
                    yield elem
            yield self.key, self.value, self.balanceFactor
            if self.hasRightChild():
                for elem in self.rightChild:  #调用self.rightChiLd.__iter__()
                    yield elem

    def findSuccessor(self):  #寻找继承
        succ = None
        if self.hasRightChild():
            succ = self.rightChild._findMin()
        else:
            if self.parent:
                if self.isLeftChild():
                    succ = self.parent
                else:
                    self.parent.rightChild = None
                    succ = self.parent.findSuccessor()
                    self.parent.rightChild = self
        return succ

    def _findMin(self):
        current = self
        while current.hasLeftChild():
            current = current.leftChild
        return current

    def spliceOut(self):
        if self.isLeaf():
            if self.isLeftChild():
                self.parent.leftChild=None
            else:
                self.parent.rightChild=None
        elif self.hasAnyChildren():
            if self.hasLeftChild():
                if self.isLeftChild():
                    self.parent.leftChild = self.leftChild
                else:
                    self.parent.rightChild = self.leftChild
                self.leftChild.parent = self.parent
            else:
                if self.isLeftChild():
                    self.parent.leftChild = self.rightChild
                else:
                    self.parent.rightChild = self.rightChild
                self.rightChild.parent = self.parent

class BinarySearchTree(object):

    def __init__(self):
        self.root = None
        self.size = 0

    def length(self):
        return self.size

    def __len__(self):
        return self.size

    def __iter__(self):
        return self.root.__iter__()

    #加入元素
    def put(self,key,value):
        if self.root:
            self._put(key,value,self.root)
        else:
            self.root = TreeNode(key,value)
        self.size = self.size+1

    def _put(self,key,value,currentNode):
        if currentNode.key<key:
            if currentNode.hasRightChild():
                self._put(key,value,currentNode.rightChild)
            else:
                currentNode.rightChild=TreeNode(key,value,parent=currentNode)
        elif currentNode.key>key:
            if currentNode.hasLeftChild():
                self._put(key,value,currentNode.leftChild)
            else:
                currentNode.leftChild=TreeNode(key,value,parent=currentNode)
        else:
            currentNode.replaceNodeData(key,value)

    def __setitem__(self, key, value):
        self.put(key,value)

    #获取元素值
    def get(self,key):
        if self.root:
            node = self._get(key,self.root)
            if node:
                return node.value
            else:
                return None
        else:
            return None

    def _get(self,key,currentNode):
        if not currentNode:
            return None
        if currentNode.key==key:
            return currentNode
        elif currentNode.key<key:
            return self._get(key,currentNode.rightChild)  #rightChild可能不存在
        else:
            return self._get(key,currentNode.leftChild)  #leftChild可能不存在

    # def _get(self,key,currentNode):
    #     if currentNode.key == key:
    #         return currentNode
    #     elif currentNode.key<key:
    #         if currentNode.hasRightChild():
    #             return self._get(key,currentNode.rightChild)
    #         else:
    #             return None
    #     else:
    #         if currentNode.hasLeftChild():
    #             return self._get(key,currentNode.leftChild)
    #         else:
    #             return None

    def __getitem__(self, key):
        return self.get(key)

    def __contains__(self, key): #实现 in 操作
        if self._get(key,self.root):
            return True
        else:
            return False

    def delete(self,key):
        if self.size>1:
            node = self._get(key,self.root)
            if node:
                self._del(node)
                self.size = self.size - 1
            else:
                raise KeyError('Error, key not in tree')
        elif self.size==1 and self.root.key==key:
            self.root = None
            self.size = self.size - 1
        else:
            raise KeyError('Error, key not in tree')

    def _del(self,currentNode):
        if currentNode.isLeaf():
            if currentNode.isLeftChild():
                currentNode.parent.leftChild = None
            elif currentNode.isRightChild():
                currentNode.parent.rightChild = None
        elif currentNode.hasBothChildren():
            successor = currentNode.findSuccessor()  #此处successor为其右子树的最小值，即最左边的值
            successor.spliceOut()
            currentNode.key = successor.key
            currentNode.value = successor.value
        elif currentNode.hasAnyChildren():
            if currentNode.hasLeftChild():
                if currentNode.isLeftChild():
                    currentNode.parent.leftChild = currentNode.leftChild
                    currentNode.leftChild.parent = currentNode.parent
                elif currentNode.isRightChild():
                    currentNode.parent.rightChild = currentNode.leftChild
                    currentNode.leftChild.parent = currentNode.parent
                else:  # currentNode has no parent (is root)
                    currentNode.replaceNodeData(currentNode.leftChild.key,
                                        currentNode.leftChild.value,
                                        currentNode.leftChild.leftChild,
                                        currentNode.leftChild.rightChild)
            elif currentNode.hasRightChild():
                if currentNode.isLeftChild():
                    currentNode.parent.leftChild = currentNode.rightChild
                    currentNode.rightChild.parent = currentNode.parent
                elif currentNode.isRightChild():
                    currentNode.parent.rightChild = currentNode.rightChild
                    currentNode.rightChild.parent = currentNode.parent
                else:  # currentNode has no parent (is root)
                    currentNode.replaceNodeData(currentNode.rightChild.key,
                                        currentNode.rightChild.value,
                                        currentNode.rightChild.leftChild,
                                        currentNode.rightChild.rightChild)

    def __delitem__(self, key):
        self.delete(key)
if __name__ == '__main__':
    mytree = BinarySearchTree()
    mytree[8]="red"
    mytree[4]="blue"
    mytree[6]="yellow"
    mytree[5]="at"
    mytree[9]="cat"
    mytree[11]="mat"

    print(mytree[6])
    print(mytree[5])
    for x in mytree:
        print x

    del mytree[6]
    print '-'*12
    for x in mytree:
        print x

　　　　在上述代码中最复杂的为删除操作，删除节点时有三种情况：节点为叶子节点，节点有两个子节点，节点有一个子节点。当节点有两个子节点时，对其删除时，应该用其右子树的最小值来代替其位置（即右子树中最左边的值）。

　　　　对于map进行复杂度分析，可以发现put，get取决于tree的高度，当节点随机分配时复杂度为O(log n)，但当节点分布不平衡时，复杂度会变成O(n)，如下图所示：

6, 平衡二叉搜索树 （Balanced binary search tree, AVL tree）

　　　　平衡二叉搜索树：又称为AVL Tree，取名于发明者G.M. Adelson-Velskii 和E.M. Landis，在二叉搜索树的基础上引入平衡因子（balance factor），每次插入和删除节点时都保持树平衡，从而避免上面出现的搜索二叉树复杂度会变成O(n)。一个节点的balance factor的计算公式如下，即该节点的左子树高度减去右子树高度。

　　　　当树所有节点的平衡因子为-1,0,1时，该树为平衡树，平衡因子大于1或小于-1时，树不平衡需要调整，下图为一颗树的各个节点的平衡因子。（1时树left-heavy，0时完全平衡，-1时right-heavy）

　　　　相比于二叉搜索树，AVL树的put和delete操作后，需要对节点的平衡因子进行更新，如果某个节点不平衡时，需要进行平衡处理，主要分为左旋转和右旋转。

　　　　左旋转：如图，节点A的平衡因子为-2（right heavy），不平衡，对其进行左旋转，即以A为旋转点，AB边逆时针旋转。

　　　　　　　　详细操作为：1，A的右节点B作为新的子树根节点

　　　　　　　　　　　　　　2，A成为B的左节点，如果B有左节点时，将其左节点变为A的右节点（A的右节点原来为B，所以A的右节点现在为空）

　　　　右旋转：如图，节点E的平衡因子为2（left heavy），不平衡，对其进行右旋转，即以E为旋转点，EC边顺时针旋转。

　　　　　　　　详细操作为：1，E的左节点C作为新的子树根节点

　　　　　　　　　　　　　　2，E成为C的右节点，如果C有右节点时，将其右节点变为E的左节点（E的左节点原来为C，所以E的左节点现在为空）

　　　　特殊情况：当出现下面的情况时，如图所示，A依旧为right heavy，但若进行左旋转，又会出现left heavy，无法完成平衡操作。 所以在进行左旋转和右旋转前需要进行一步判断，具体操作如下：

　　　　　　1，如果某节点需要进行左旋转平衡时（right heavy），检查其右子节点的平衡因子，若右子节点为left heavy，先对右子节点右旋转，然后对该节点左旋转

　　　　　　2，如果某节点需要进行右旋转平衡时（left heavy），检查其左子节点的平衡因子，若左子节点为right heavy，先对左子节点左旋转，然后对该节点右旋转

　　　　AVL tree用python实现的代码如下：

#coding:utf-8

from binarySearchTree import TreeNode, BinarySearchTree

# class AVLTreeNode(TreeNode):
#
#     def __init__(self,*args,**kwargs):
#         self.balanceFactor = 0
#         super(AVLTreeNode,self).__init__(*args,**kwargs)

class AVLTree(BinarySearchTree):

    def _put(self,key,value,currentNode):
        if currentNode.key<key:
            if currentNode.hasRightChild():
                self._put(key,value,currentNode.rightChild)
            else:
                currentNode.rightChild=TreeNode(key,value,parent=currentNode)
                self.updateBalance(currentNode.rightChild)
        elif currentNode.key>key:
            if currentNode.hasLeftChild():
                self._put(key,value,currentNode.leftChild)
            else:
                currentNode.leftChild=TreeNode(key,value,parent=currentNode)
                self.updateBalance(currentNode.leftChild)
        else:
            currentNode.replaceNodeData(key,value)

    def _del(self,currentNode):
        if currentNode.isLeaf():
            if currentNode.isLeftChild():
                currentNode.parent.leftChild = None
                currentNode.parent.balanceFactor -=1
            elif currentNode.isRightChild():
                currentNode.parent.rightChild = None
                currentNode.parent.balanceFactor += 1
            if currentNode.parent.balanceFactor>1 or currentNode.parent.balanceFactor<-1:
                self.reblance(currentNode.parent)
        elif currentNode.hasBothChildren():
            successor = currentNode.findSuccessor()  #此处successor为其右子树的最小值，即最左边的值
            # 先更新parent的balanceFactor
            if successor.isLeftChild():
                successor.parent.balanceFactor -= 1
            elif successor.isRightChild():
                successor.parent.balanceFactor += 1
            successor.spliceOut()
            currentNode.key = successor.key
            currentNode.value = successor.value

            # 删除后，再判断是否需要再平衡，然后进行再平衡操作
            if successor.parent.balanceFactor>1 or successor.parent.balanceFactor<-1:
                self.reblance(successor.parent)
        elif currentNode.hasAnyChildren():

            #先更新parent的balanceFactor
            if currentNode.isLeftChild():
                currentNode.parent.balanceFactor -= 1
            elif currentNode.isRightChild():
                currentNode.parent.balanceFactor += 1

            if currentNode.hasLeftChild():
                if currentNode.isLeftChild():
                    currentNode.parent.leftChild = currentNode.leftChild
                    currentNode.leftChild.parent = currentNode.parent
                elif currentNode.isRightChild():
                    currentNode.parent.rightChild = currentNode.leftChild
                    currentNode.leftChild.parent = currentNode.parent
                else:  # currentNode has no parent (is root)
                    currentNode.replaceNodeData(currentNode.leftChild.key,
                                        currentNode.leftChild.value,
                                        currentNode.leftChild.leftChild,
                                        currentNode.leftChild.rightChild)
            elif currentNode.hasRightChild():
                if currentNode.isLeftChild():
                    currentNode.parent.leftChild = currentNode.rightChild
                    currentNode.rightChild.parent = currentNode.parent
                elif currentNode.isRightChild():
                    currentNode.parent.rightChild = currentNode.rightChild
                    currentNode.rightChild.parent = currentNode.parent
                else:  # currentNode has no parent (is root)
                    currentNode.replaceNodeData(currentNode.rightChild.key,
                                        currentNode.rightChild.value,
                                        currentNode.rightChild.leftChild,
                                        currentNode.rightChild.rightChild)
             #删除后，再判断是否需要再平衡，然后进行再平衡操作
            if currentNode.parent!=None: #不是根节点
                if currentNode.parent.balanceFactor>1 or currentNode.parent.balanceFactor<-1:
                    self.reblance(currentNode.parent)

    def updateBalance(self,node):
        if node.balanceFactor>1 or node.balanceFactor<-1:
            self.reblance(node)
            return
        if node.parent!=None:
            if node.isLeftChild():
                node.parent.balanceFactor +=1
            elif node.isRightChild():
                node.parent.balanceFactor -=1
            if node.parent.balanceFactor!=0:
                self.updateBalance(node.parent)

    def reblance(self,node):
        if node.balanceFactor>1:
            if node.leftChild.balanceFactor<0:
                self.rotateLeft(node.leftChild)
            self.rotateRight(node)
        elif node.balanceFactor<-1:
            if node.rightChild.balanceFactor>0:
                self.rotateRight(node.rightChild)
            self.rotateLeft(node)

    def rotateLeft(self,node):
        newroot = node.rightChild
        node.rightChild = newroot.leftChild
        if newroot.hasLeftChild():
            newroot.leftChild.parent = node
        newroot.parent = node.parent
        if node.parent!=None:
            if node.isLeftChild():
                node.parent.leftChild = newroot
            elif node.isRightChild():
                node.parent.rightChild = newroot
        else:
            self.root = newroot
        newroot.leftChild = node
        node.parent = newroot
        node.balanceFactor = node.balanceFactor+1-min(newroot.balanceFactor,0)
        newroot.balanceFactor = newroot.balanceFactor+1+max(node.balanceFactor,0)

    def rotateRight(self,node):
        newroot = node.leftChild
        node.leftChild = newroot.rightChild
        if newroot.rightChild!=None:
            newroot.rightChild.parent = node
        newroot.parent = node.parent
        if node.parent!=None:
            if node.isLeftChild():
                node.parent.leftChild = newroot
            elif node.isRightChild():
                node.parent.rightChild = newroot
        else:
            self.root = newroot
        newroot.rightChild = node
        node.parent = newroot
        node.balanceFactor = node.balanceFactor-1-max(newroot.balanceFactor,0)
        newroot.balanceFactor = newroot.balanceFactor-1+min(node.balanceFactor,0)

if __name__ == '__main__':

    mytree = AVLTree()
    mytree[8]="red"
    mytree[4]="blue"

    mytree[6]="yellow"

    mytree[5]="at"

    mytree[9]="cat"

    mytree[11]="mat"

    print(mytree[6])
    print(mytree[5])

    print '-'*12
    print ('key','value','balanceFactor')
    for x in mytree:
        print x
    print 'root:',mytree.root.key

    del mytree[6]
    print '-'*12
    print ('key','value','balanceFactor')
    for x in mytree:
        print x
    print 'root:',mytree.root.key

　　　　AVL Tree继承了二叉搜索树，对其插入和删除方法进行了重写，另外对TreeNode增加了balanceFactor属性。再进行左旋转和右旋转时，对于balanceFactor的需要计算一下，如图的左旋转过程中，D成为了新的根节点，只有B和D的平衡因子发生了变化，需要对其进行更新。（右旋转和左旋转类似）

　　　　　　B的平衡因子计算过程如下：（newBal(B)为左旋转后B的平衡因子，oldBal(B)为原来的节点B的平衡因子，h为节点的高度）

　　　　　　D的平衡因子计算过程如下：

　　　　

　　　　由于AVL Tree总是保持平衡，其put和get操作的复杂度能保持为O(log n)

7.总结

　　　　到目前为止，对于map（字典）数据结构，用二叉搜索树和AVL树实现了，也用有序列表和哈希表实现过，对应操作的复杂度如下：

 8. 其他树形结构

　　8.1 哈夫曼树及哈夫曼编码

　　　　参考：http://www.cnblogs.com/mcgrady/p/3329825.html

　　　　哈夫曼树：哈夫曼树是一种带权路径长度最短的二叉树，也称为最优二叉树。 （权：叶子节点的权重；路径：根节点到叶子节点经过的线段）

　　　　　　　　　下图中的带权路径长度分别为：

　　　　　　　　　　　图a： WPL=5*2+7*2+2*2+13*2=54

　　　　　　　　　　　图b： WPL=5*3+2*3+7*2+13*1=48

　　　　　　　　　可见，图b的带权路径长度较小，我们可以证明图b就是哈夫曼树(也称为最优二叉树)。

　　                                   　　　　　　　

　　　　构建哈夫曼树步骤：　　　　　

　　　　　　　　1，将所有左，右子树都为空的作为根节点。

　　　　　　　　2，在森林中选出两棵根节点的权值最小的树作为一棵新树的左，右子树，且置新树的附加根节点的权值为其左，右子树上根节点的权值之和。注意，左子树的权值应小于右子树的权值。

　　　　　　　　3，从森林中删除这两棵树，同时把新树加入到森林中。

　　　　　　　　4，重复2，3步骤，直到森林中只有一棵树为止，此树便是哈夫曼树。

　　　　　　　　下面是构建哈夫曼树的图解过程：

　　　　　　　

　　　　哈夫曼编码：利用哈夫曼树求得的用于通信的二进制编码称为哈夫曼编码。树中从根到每个叶子节点都有一条路径，对路径上的各分支约定指向左子树的分支表示”0”码，指向右子树的分支表示“1”码，取每条路径上的“0”或“1”的序列作为各个叶子节点对应的字符编码，即是哈夫曼编码。

上图A，B，C，D对应的哈夫曼编码分别为：111，10，110，0。 用图说明如下：

　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　利用哈夫曼树编码字符窜和解码： 首先统计字符窜中每个字符出现的频率，以字符频率为权重建立哈夫曼树，得到每个字符的哈夫曼码，最后对字符窜编码。下面代码利用哈夫曼树对字符窜进行了编码和解码　　　

#哈夫曼树节点
class HaffmanNode(object):

    def __init__(self,value=None,weight=None,leftchild=None,rightchild=None):  #value为统计字符，weight为字符出现频率
        self.value = value
        self.weight = weight
        self.leftchild=leftchild
        self.rightchild = rightchild

    def is_leaf(self):   #判断是否为叶子节点
        return not self.leftchild and not self.rightchild

    def __lt__(self,other):   #用于两个对象间大小比较
        return self.weight<other.weight

#根据哈夫曼树获得哈夫曼码
def get_haffman_code(root,code,code_dict1,code_dict2):
    if root.is_leaf():
        code_dict1[root.value]=code     #进行编码时使用
        code_dict2[code]=root.value     #进行解码时使用
    else:
        get_haffman_code(root.leftchild, code+'',code_dict1,code_dict2)
        get_haffman_code(root.rightchild, code+'',code_dict1,code_dict2)

#根据字符频率构建哈夫曼树
import heapq
def build_haffman_tree(weight_dict):
    hp=[]
    for value,weight in weight_dict.items():   #value为字符，weight为字符出现频率
        heapq.heappush(hp,HaffmanNode(value,weight))
    while len(hp)>:
        left = heapq.heappop(hp)
        right = heapq.heappop(hp)
        parent = HaffmanNode(weight=left.weight+right.weight,leftchild=left,rightchild=right)
        heapq.heappush(hp,parent)
    return hp[]   #剩下最后元素即为haffman tree

weight_dict = {}
code_dict1={}
code_dict2={}
#对字符窜astr进行哈夫曼编码
def haff_encode(astr):
    for i in astr:
        if i not in weight_dict:
            weight_dict[i]=
        else:
            weight_dict[i]+=
    haffman_tree = build_haffman_tree(weight_dict)
    get_haffman_code(haffman_tree,'',code_dict1,code_dict2)
    encoded_astr = ''
    for i in astr:
        encoded_astr+=code_dict1[i]
    return encoded_astr

#解码哈夫曼编码后的字符窜
def haff_decode(encoded_astr,code_dict2):
    code = ''
    astr=''
    for i in encoded_astr:
        code = code+i
        if code in code_dict2:
            astr+=code_dict2[code]
            code=''
    return astr

astr="This is my big fancy house"
encoded_astr=haff_encode(astr)
print(encoded_astr)
decoded_astr = haff_decode(encoded_astr,code_dict2)
print(decoded_astr)

编码和解码字符串

　        利用哈夫曼树压缩文件和解压缩：

　　　　参考：https://www.jianshu.com/p/4cbbfed4160b

　　　　　　https://github.com/gg-z/huffman_coding

　　　　　　https://gist.github.com/Arianxx/603dc688a4b68f207ada2c4534758637

　　8.2 Trie树（字典树）

　　　　Trie树：又称字典树或前缀树，储存单词字符，方便用来进行词频统计和前缀匹配。Trie tree如图所示：　　　　

　　Trie树的特点：

　　　　　　除根节点外每个节点都包含字符

　　　　　　从根节点到叶子节点路径上的字符组成一个完成单词，

　　　　　　多个单词的共同路径节点即为公共前缀

　　Trie作用：

　　　　　　节约储存内存；

　　　　　　前缀匹配时，搜索更快，时间复杂度为O(n),  (n为单词的长度)

　　　下面代码用python实现了一个简单Trie Tree

#Trie树，字典树
class TrieNode(object):
    def __init__(self,char):
        self.char = char
        self.child=[]
        self.is_leaf = False  #是否是叶子节点，即是否为一个完整单词的最后一个字母
        self.counter =       #多少单词有这个共同前缀

class TrieTree(object):
    def __init__(self):
        self.root = TrieNode(None)    

    #将一个单词加入到Trie树中
    def add_trie_word(self,word):
        root = self.root
        for char in word:
            found = False
            for node in root.child:
                if node.char==char:
                    node.counter+=
                    root = node
                    found = True
                    break
            if not found:
                temp = TrieNode(char)
                root.child.append(temp)
                root = temp
        root.is_leaf=True

    #查找某个单词前缀是否在Trie树，并返回有多少个单词有这个共同前缀
    def search_trie_prefix(self,prefix):
        root = self.root
        if not root.child:
            return False,
        for char in prefix:
            found=False
            for node in root.child:
                if node.char==char:
                    root=node
                    found=True
                    break
            if not found:
                return False,
        return True,root.counter

trie_tree = TrieTree()
trie_tree.add_trie_word("hammer")
trie_tree.add_trie_word("ham")
trie_tree.add_trie_word("had")
print(trie_tree.search_trie_prefix("ha"))
print(trie_tree.search_trie_prefix("ham"))
print(trie_tree.search_trie_prefix("had"))
print(trie_tree.search_trie_prefix("b"))

Trie tree

Trie tree参考： https://www.cnblogs.com/huangxincheng/archive/2012/11/25/2788268.html

　　              　https://towardsdatascience.com/implementing-a-trie-data-structure-in-python-in-less-than-100-lines-of-code-a877ea23c1a1

参考：http://interactivepython.org/runestone/static/pythonds/Trees/toctree.html