P3239 [HNOI2015]亚瑟王——概率DP

题面：亚瑟王

最近考试考期望很自闭啊，没做过这种类型的题，只能现在练一练；

所谓期望，就是状态乘上自己的概率；对于这道题来说，我们要求的是每张牌的伤害乘上打出的概率的和；

当然不是直接乘，因为给的是每轮中这张牌打出的概率，这张牌没打出就要考虑下一张牌，要有一张牌发出技能才能结束一轮；除非一张牌都发不出来；

设每张牌打出的概率是exp[]，答案就是exp[i]*d[i];

exp[i]怎么求？

我们要始终在概率面前一视同仁；

因为牌只有出和不出两种状态，概率和为1；

exp[1]=1-(1-p[1])^r 即为1-r轮不出的概率=r轮出的概率；

再考虑第二张：

情况一：如果第1张牌没有发动过技能，那么第22张牌发动技能的概率为1-(1−p[2])r。

情况二：如果第1张牌发动过1次技能，那么在第1张牌发动技能的那一轮，第2张牌绝对不会再发动技能了，因此第2张牌发动技能的概率为1-(1−p[2])r−1。

结合这个例子，可以得到，对于任意的i>1，在第1张牌到第i-1张牌在所有r轮内是否发动技能已经确定的情况下，

第i张牌被发动技能的概率只取决于第1张牌到第i-1张牌中有多少张发动了技能。即如果有j张发动了技能，那么在此情况下第i张牌发动技能的概率为1-(1−p[i])r−j。

（摘自洛古题解https://www.luogu.org/space/show?uid=29936）

设f[i][j]为前i张牌打出j张牌的概率，分别由f[i-1][j-1]和f[i-1][j]转移过来，这张牌打出去和这张牌没打出去；

这张牌打出去了，那么j-1轮中他扔不出去，r-j+1轮中他扔了出去，即为f[i-1][j-1]*(1-(1-p[i])^r-j+1)；

(1-p[i])^r-j+1  是剩下的都没打出的概率，用1减去即是j轮打出的概率；

j轮打不出的概率就是f[i-1][j]*(1-(1-p[i])^r-j )

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=;
typedef double dd;
int T;
int n,r;
dd p[maxn];
int d[maxn];
 
dd ksm_p[maxn][maxn];
void pre_p()
{
    for(int i=;i<=n;i++)
    {
        ksm_p[i][]=;
        for(int j=;j<=r;j++)
        {
            ksm_p[i][j]=ksm_p[i][j-]*(-p[i]);
        }
    }
}
dd ans;
dd f[maxn][maxn];//i card j used
dd exp[maxn];
 
int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        ans=;
        memset(f,,sizeof(f));
        memset(exp,,sizeof(exp));
        scanf("%d%d",&n,&r);
        for(int i=;i<=n;i++)
        {
            scanf("%lf%d",&p[i],&d[i]);
        }
        pre_p();
        f[][]=ksm_p[][r];
        f[][]=exp[]=1.0-ksm_p[][r];
        for(int i=;i<=n;i++)
        {
            for(int j=;j<=r;j++)
            {
                if(j>i) break;
                if(j!=i) exp[i]+=f[i-][j]*(-ksm_p[i][r-j]);
                if(j) f[i][j]+=f[i-][j-]*(-ksm_p[i][r-j+]);
                if(i!=j) f[i][j]+=f[i-][j]*ksm_p[i][r-j];
            }
        }
        for(int i=;i<=n;i++) ans+=exp[i]*d[i];
        printf("%.10lf\n",ans);
    }
    return ;
}