@总结 - 2@ 位运算卷积/子集卷积 —

@0 - 参考资料@
@1 - 位运算（子集）卷积@
@2 - 关于 FWT（快速沃尔什变换）@
- @2.1 - 从高维卷积角度看 FWT@
- @2.2 - 从分治乘法角度看 FWT@
@3 - 参考代码实现@
@4 - 关于 FMT（快速莫比乌斯变换）@
@5 - 例题与应用@

update in 2020/03/12：本篇内容几乎已经完全重构。

@0 - 参考资料@

我觉得这么好的博客应该发送给全世界观看。

yyb 的讲解（FWT）

popoqqq 的讲解（FWT）

zjp 的讲解（FMT）

Dance-Of-Faith 的讲解（FMT）

@1 - 位运算（子集）卷积@

现在已知两个 n = 2^m 维的向量 $A = (a_0, a_1, ..., a_{n-1}), B = (b_0, b_1, ..., b_{n-1})$。定义异或卷积式：

\[A\oplus B = (\sum_{i\oplus j = 0}a_i*b_j,\sum_{i\oplus j=1}a_i*b_j,\dots,\sum_{i\oplus j=n-1}a_i*b_j)
\]

类似地可以定义出或卷积、与卷积：

\[A | B=(\sum_{i | j=0}a_i*b_j,\sum_{i | j=1}a_i*b_j,\dots,\sum_{i | j=n-1}a_i*b_j)\\
A \& B=(\sum_{i \& j=0}a_i*b_j,\sum_{i \& j=1}a_i*b_j,\dots,\sum_{i \& j=n-1}a_i*b_j)\]

嘛，你也可以理解为 m 个元素构成的全集的所有子集进行子集对称差、子集并、子集交卷积。

定义加减法 $A\pm B=(a_0\pm b_0,a_1\pm b_1,...,a_{n-1}\pm b_{n-1})$，再定义乘积 $A*B=(a_0*b_0,a_1*b_1,...,a_{n-1}*b_{n-1})$。

@2 - 关于 FWT（快速沃尔什变换）@

可以发现暴力做是 $O(n^2) = O(4^m)$ 的，需要优化。

@2.1 - 从高维卷积角度看 FWT@

由于异或运算相当于二进制的不进位加法，那么异或卷积相当于是 m 元函数，每一维都进行二维循环卷积。

从集合角度来描述，将原来的向量记成一个 m 元函数 $A(S) = \sum_{T\subset S}a_T\sum_{i\in T}x_{i}$。

那么异或卷积相当于 $A(S)\oplus B(S) = \sum_{T_1\subset S, T_2\subset S}a_{T_1}b_{T_2}\sum x_{i}^{([i\in T_1] + [i\in T_2]) \mod 2}$。

那么我们就可以套用 fft 的方法。注意到二维情况单位根为 -1, 1，因此问题会简化很多。

不过直接用看起来比较复杂，考虑具体情况怎么实现。

定义 $A_0=(a_0,a_1,...a_{\frac{n}{2}-1}), A_1=(a_{\frac{n}{2}},a_{\frac{n}{2}+1},...,a_{n-1})$，则有 $A=(A_0, A_1)$。

这里可以把 $A_0$ 理解成不包含 0 号元素的子集，$A_1$ 为包含 0 号元素的子集。

变换后应该有 $fwt(A) = (fwt(A_0) + fwt(A_1), fwt(A_0) - fwt(A_1))$。

其实很好理解，因为前面不包含 0 号元素，所以不管 0 号元素代什么值都是正；而后面包含 0 号元素，所以当 0 号元素代 -1 时（即 $fwt(A_1)$）时才变成负。

逆变换根据 fft 的方法，类似地有 $ifwt(A) = (\frac{ifwt(A_0) + ifwt(A_1)}{2}, \frac{ifwt(A_0) - ifwt(A_1)}{2})$。

这个高维卷积好像也可以使用于另两种卷积，不过就不是 fft 了，而是自己去配每一维的变换。

@2.2 - 从分治乘法角度看 FWT@

在计算多项式乘法 $A(x)B(x)$ 时，我们暴力做是 $O(n^2)$ 的复杂度。

如果我们把 $A(x)$ 分成等半的 $A_0(x) + A_1(x)x^{\frac{n}{2}}$ 同理把 $B(x)$ 分成 $B_0(x) + B_1(x)x^{\frac{n}{2}}$，则：

\[A(x)B(x) = (A_0(x) + A_1(x)x^{\frac{n}{2}})(B_0(x) + B_1(x)x^{\frac{n}{2}})\\
= A_0(x)B_0(x) + (A_0(x)B_1(x) + A_1(x)B_0(x))x^{\frac{n}{2}} + A_1(x)B_0(x)x^n\]

正常做的话需要递归 4 次卷积，即时间复杂度 $T(n) = 4T(n/2) + O(n)$，解出来 $T(n) = n^2$。

不过注意到 $(A_0(x) + A_1(x))(B_0(x) + B_1(x)) = A_0(x)B_0(x) + A_0(x)B_1(x) + A_1(x)B_0(x) + A_1(x)B_1(x)$，所以如果再算出 $A_0(x)B_0(x), A_1(x)B_1(x)$ 即可递归 3 次解决。

时间复杂度 $T(n) = 3T(n/2) + O(n)$，解出 $T(n) = O(n^{\log_{2}3})$。

这就是分治乘法的基本思路，利用结合律减少乘法的计算次数。我们可以把这种思路拓展在位运算卷积上，以或卷积为例。

定义 $A_0=(a_0,a_1,...a_{\frac{n}{2}-1}), A_1=(a_{\frac{n}{2}},a_{\frac{n}{2}+1},...,a_{n-1})$，则有 $A=(A_0, A_1)$。

可以把 $A_0, A_1$ 理解为向量 $A$ 的前半部分与后半部分，也可以理解为 $A$ 中二进制最高位为 0 的部分与二进制最高位为 1 的部分。

或卷积可以写作 $A | B = (A_0, A_1) | (B_0, B_1) = (A_0 | B_0, A_0 | B_1 + A_1 | B_0 + A_1 | B_1)$。一样地，正常情况下一次需要递归做 4 次卷积。

很简单地可以发现只需要求 $A_0|B_0$ 与 $(A_0 + A_1)|(B_0 + B_1)$ 即可，由 $T(n) = 2T(n/2) + O(n)$ 解出总时间复杂度为 $O(n\log n)$。

但是这样分治下来不太好拓展。我们尝试构造一个变换 $A' = (A_0, A_0 + A_1)$。

因此有 $(A|B)' = (A_0|B_0, (A_0 + B_0)|(A_1 + B_1)) = (A_0'|B_0', A_1'|B_1')$。

这种变换的好处是我们把两部分给分离开了，因此可以分别递归做。

如果我们再对第二维，第三维一直到第 m 维都做一遍这个变换，那么最后只需要对应项相乘 —— 那么就和 fft 是一个道理了。

由此，我们可以构造出或卷积的 fwt 变换：

\[fwt(A) = (fwt(A_0), fwt(A_0) + fwt(A_1)) = (A_0', A_1') = A'
\]

至于逆变换是什么，考虑列方程组：

\[\begin{cases}
A_0' = fwt(A_0)&\\
A_1' = fwt(A_0) + fwt(A_1)
\end{cases}\]

解出来：

\[\begin{cases}
A_0 = ifwt(A_0')&\\
A_1 = ifwt(A_1') - ifwt(A_0')
\end{cases}\]

这个思路一样可以拓展成与卷积、异或卷积。不过异或卷积有点难配出来就是了。

补充一下与卷积：

\[\begin{cases}
A_0' = fwt(A_0) + fwt(A_1)&\\
A_1' = fwt(A_1)
\end{cases}\]

逆变换：

\[\begin{cases}
A_0 = ifwt(A_0') - ifwt(A_1')&\\
A_1 = ifwt(A_1')
\end{cases}\]

@3 - 参考代码实现@

本代码为洛谷P4717 的 AC 代码。

#include<cstdio>

const int MOD = 998244353;

const int INV = (998244353 + 1)/2;

const int MAXN = (1<<17);

void fwt_or(int *a, int n, int type) {

	for(int s=2;s<=n;s<<=1) {

		int t = (s>>1);

		for(int i=0;i<n;i+=s) {

			for(int j=0;j<t;j++) {

				int x = a[i+j], y = a[i+j+t];

				a[i+j] = (type == -1) ? x : x;

				a[i+j+t] = (type == -1) ? (y + MOD - x)%MOD : (y + x)%MOD;

			}

		}

	}

}

void fwt_and(int *a, int n, int type) {

	for(int s=2;s<=n;s<<=1) {

		int t = (s>>1);

		for(int i=0;i<n;i+=s) {

			for(int j=0;j<t;j++) {

				int x = a[i+j], y = a[i+j+t];

				a[i+j] = (type == -1) ? (x + MOD - y)%MOD : (x + y)%MOD;

				a[i+j+t] = (type == -1) ? y : y;

			}

		}

	}

}

void fwt_xor(int *a, int n, int type) {

	for(int s=2;s<=n;s<<=1) {

		int t = (s>>1);

		for(int i=0;i<n;i+=s) {

			for(int j=0;j<t;j++) {

				int x = a[i+j], y = a[i+j+t];

				a[i+j] = (type == -1) ? 1LL*(x + y)%MOD*INV%MOD : (x + y)%MOD;

				a[i+j+t] = (type == -1) ? 1LL*(x + MOD - y)%MOD*INV%MOD : (x + MOD - y)%MOD;

			}

		}

	}

}

int A[MAXN + 5], B[MAXN + 5], C[MAXN + 5];

int main() {

	int N; scanf("%d", &N); N = (1<<N);

	for(int i=0;i<N;i++)

		scanf("%d", &A[i]);

	for(int i=0;i<N;i++)

		scanf("%d", &B[i]);

	fwt_or(A, N, 1); fwt_or(B, N, 1);

	for(int i=0;i<N;i++)

		C[i] = 1LL*A[i]*B[i]%MOD;

	fwt_or(A, N, -1); fwt_or(B, N, -1); fwt_or(C, N, -1);

	for(int i=0;i<N;i++)

		printf("%d ", C[i]);

	puts("");

	fwt_and(A, N, 1); fwt_and(B, N, 1);

	for(int i=0;i<N;i++)

		C[i] = 1LL*A[i]*B[i]%MOD;

	fwt_and(A, N, -1); fwt_and(B, N, -1); fwt_and(C, N, -1);

	for(int i=0;i<N;i++)

		printf("%d ", C[i]);

	puts("");

	fwt_xor(A, N, 1); fwt_xor(B, N, 1);

	for(int i=0;i<N;i++)

		C[i] = 1LL*A[i]*B[i]%MOD;

	fwt_xor(A, N, -1); fwt_xor(B, N, -1); fwt_xor(C, N, -1);

	for(int i=0;i<N;i++)

		printf("%d ", C[i]);

	puts("");

}

@4 - 关于 FMT（快速莫比乌斯变换）@

感觉……其实也不是很有用的样子。

完全可以被 FWT 替代啊。（可能常数要小一点？）

FMT 用于解决这样一类卷积问题（子集并卷积）：

\[f(S) = \sum_{T1\bigcup T2 = S}g(T1)*h(T2)
\]

$S, T1, T2$ 都是集合，其中 $T1,T2\subset S$，f, g, h 是定义在集合上的一个权值。

FMT 仿照 FFT 的方法，将集合转换为另一种处理起来更为方便的形式。定义：

\[\hat f(S)=\sum_{T\subset S}f(T)
\]

即 S 集合的所有子集权值之和。

依照这个定义，就有：

\[\hat f(S)=\sum_{T1\bigcup T2 \subset S}g(T1)*h(T2)
\]

我们知道子集之间的并集还是子集，所以就有：

\[\hat f(S)=\sum_{T1,T2 \subset S}g(T1)*h(T2)
\]

根据乘法分配律，可以得到：

\[\hat f(S)=(\sum_{T \subset S}g(T))*(\sum_{T \subset S}h(T))=\hat g(S)*\hat h(S)
\]

然后我们的目的就达成了，我们把卷积转换成了乘积。

再考虑怎么进行逆变换。根据容斥原理，可以得到：

\[f(S)=\sum_{T\subset S}(-1)^{|S|-|T|}\hat f(T)
\]

可以考虑 S 每一个子集对答案的贡献，是组合数代数和的形式，即 C(n,0) - C(n,1) + C(n,2) ... 。这是一个经典的容斥式子，只有当 n = 0 时它等于 1，所以这个逆变换是成立的。

考虑代码实现，一种暴力的想法是 3^n 枚举子集计算。

但是我们发现这个式子长得非常 dp，所以我们考虑用递推来解决这一问题。

定义 dp[i][s] 表示我们通过删去元素 1 ... i 中的一些，能得到的子集之和。

则通过对第 i 个元素的讨论，可以得到转移式 dp[i][s] = dp[i-1][s] + dp[i-1][s - {i}]。

然后第一维可以直接滚动数组。

逆变换的话，我们的 dp 转移式就变成了 dp[i][s] = dp[i-1][s] - dp[i-1][s - {i}]。因为每多一个元素，上面公式中 -1 的幂就要增加 1。

代码比较简短（type 为 1 时为正变换，type 为 -1 时为逆变换）：

void fmt(int A[], int n, int type) {

	for(int i=1;i<n;i<<=1)

		for(int j=0;j<n;j++)

			if( i & j ) A[j] = (A[j] + type*A[i^j])%MOD;

}

好了。为什么我说这个东西可以被 FWT 替代呢？因为如果把集合用相应的二进制数表示，我们所说的子集并卷积其实就是或卷积。包括我在网上看到的子集卷积，子集逆卷积都可以用或卷积来替代。因为其实我们并没有用到 FMT 独特的一些性质，只是使用 FMT 来将卷积转换为乘积，而这个我们 FWT 也可以干。

可能 FMT 的优势就在于代码稍微短一些，理解起来容易一些，更方便背代码。

@5 - 例题与应用@

＠dp 优化＠

身为一个卷积怎么可以不用来优化 dp?

假如我们列出了 dp 转移式子，发现它具有异或卷积的特征，我们就可以使用 fwt 进行优化。

比如：hdu - 5909 Tree Cutting 这道题就非常的典型。

另外，我们 fwt 也可以像 fft 一样进行卷积快速幂，比如这一道例题：bzoj - 4589 Hard Nim。

@子集卷积@

有些情况下，可能题目在异或卷积的前提下会加上更多的限制：比如一个集合必须与另一个集合无交集（对应位运算即 i xor j = i+j），或者说一个集合必须是另外一个集合的子集（对应位运算即 i xor j = i-j）。

在这个时候，我们通常会去限定二进制表示下 1 的个数，从而达到题目给出的限制。

比如这道题：hdu - 6057 Kanade's convolution

@卷积逆运算@

当然有可能会让你作卷积除法。方法比较简单，fwt 作正变换过后直接相除即可。（为什么 fft 不可以这样做呢？因为 fft 得到的结果项数可能是无穷多的，而 fwt 得到的结果项数是完全已知的）。

如果是子集卷积作除法，先限制二进制 1 的个数，然后 fwt 正变换完过后，因为二进制 1 的个数不会很大，所以直接暴力求解即可。

有一道雅礼集训出现的题目：union