P3496 [POI2010]GIL-Guilds

题意

给一张无向图,要求你用黑(\(K\))白(\(S\))灰(\(N\))给点染色,且满足对于任意一个黑点,至少有一个白点和他相邻;对于任意一个白点,至少有一个黑点与他相邻,对于任意一个灰点,至少同时有一个黑点和白点和灰点与他相邻,问能否成功。成功则输出TAK并输出每个点的颜色,否则输出一行NIE

思路

我来找一道水题...艹怎么这么难。 --Mercury

这是一道结论题,看起来很不可做,但实际上只需要分析一下就会发现并不难。

  • 对于一张有解的无向图,若不把点染成灰色也一定有解。

    • 既然灰点需要旁边同时有白点和黑点,那么这个点既满足被染成白色的条件也满足被染成黑色的条件,而灰点对于染黑和染白没有任何贡献,我们把一种解中的灰点改为黑点或是白点也一定是一种解。
  • 对于一张\(n\)个点的无向连通图\((n\geq 2)\),其一定有解。
    • 对于\(n=2\),显然成立。那么对于\(n\geq 3\),假设\(n-1\)个点时有解,那么再加入一个点,并把它和其他点相连,它的旁边一定会有一个被染色的点,无论黑白,那么它一定满足被染成黑色或白色,所以这样的图也有解,由数学归纳法,得证。
  • 无解的情况有且仅有无向图中的最小联通块的大小为\(1\)。
    • 由上一结论,当\(n\geq 2\)时一定有解,当\(n=1\)时它不满足被染成任何一种颜色,无解。得证。

所以,我们只需要将点染成任意颜色,将与这个点相连的所有点染成相反颜色,在染色过程中判断当前联通块大小,就能构造出一个解了。

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=2e5+5;
const int MAXM=1e6+5;
int n,m,col[MAXN];
int cnt,top[MAXN],to[MAXM],nex[MAXM];
char hjj[3]={'@','K','S'};
int read()
{
int re=0;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)) ch=getchar();
while(isdigit(ch)) re=(re<<3)+(re<<1)+ch-'0',ch=getchar();
return re;
}
int dfs(int now)
{
int re=1;
for(int i=top[now];i;i=nex[i])
{
if(col[to[i]]) continue;
col[to[i]]=2/col[now];
re+=dfs(to[i]);
}
return re;
}
int main()
{
n=read(),m=read();
while(m--)
{
int x=read(),y=read();
to[++cnt]=y,nex[cnt]=top[x],top[x]=cnt;
to[++cnt]=x,nex[cnt]=top[y],top[y]=cnt;
}
for(int i=1;i<=n;i++)
if(!col[i])
{
col[i]=1;
if(dfs(i)==1)
{
printf("NIE");
return 0;
}
}
puts("TAK");
for(int i=1;i<=n;i++) printf("%c\n",hjj[col[i]]);
return 0;
}

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