51nod 1421 最大MOD值(高妙的调和级数复杂度)
有一个a数组,里面有n个整数。现在要从中找到两个数字(可以是同一个) ai,aj ,使得 ai mod aj 最大并且 ai ≥ aj。
单组测试数据。
第一行包含一个整数n,表示数组a的大小。(1 ≤ n ≤ 2*10^5)
第二行有n个用空格分开的整数ai (1 ≤ ai ≤ 10^6)。
输出一个整数代表最大的mod值。
3
3 4 5
2 题解:首先考虑mod的真正定义
a%b=a/b*b+c
思考一下其实是kb+c的形式,画在数轴上就是
很显然,如果有一个数x%a>b%a他肯定会在(k*a+b,(k+1)*a)的区间之中,到底有没有这些数存在可以用前缀和O(1)查询
所以因此我们就可以对c即余数进行二分了,不过二分的时候检验是O(nlogn)的,因为会枚举每一个数的倍数的区间,总复杂度大约是调和级数即logn 但其实仔细一想这是不满的
在套上二分,复杂度是O(nlognlogn)
代码如下:
#pragma GCC optimize("inline",3)
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std; int vis[],sum[],k,n,a[],cnt; int check(int x)
{
for(register int i=;i<=cnt;++i)
{
for(register int j=a[i];j<=1e6;j+=a[i])
{
if(sum[j+a[i]-]-sum[j+x-]>)
{
return ;
}
}
}
return ;
} int main()
{
scanf("%d",&n);
int tmp;
for(register int i=;i<=n;++i)
{
scanf("%d",&tmp);
if(!vis[tmp])
{
vis[tmp]=;
}
}
for(register int i=;i<=2e6;++i)
{
sum[i]=sum[i-]+vis[i];
}
for(int i=;i<=1e6;i++)
{
if(vis[i])
{
a[++cnt]=i;
}
}
register int l=,r=2e6,mid;
while(l<r)
{
int mid=(l+r)>>;
if(check(mid))
{
l=mid;
}
else
{
r=mid-;
}
if(r-l<=)
{
r=check(r)?r:l;
break;
}
}
printf("%d\n",r);
}
这个程序1e5跑跑是非常轻松的但是到了2e5就有点力不从心了
直接提交到51nod上就大概只能过18个点
于是考虑优化,其实只要知道了上面那个mod的定义,我们每次对于(k+1)*ai找到小于它的最大aj,那么这个aj%ai的值肯定是(k*ai,(k+1)*ai)区间内所有数%ai最大的
因此我们可以先预处理出f[i]为比i小的最大ai,然后在向上面一样枚举区间对于每个区间计算最大模数更新答案,因为省去了二分,复杂度就是O(nlogn)
代码如下:
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std; int b[],a[],n,t,ans=-; int cmp(int a,int b)
{
return a>b;
} int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
}
sort(a+,a+n+,cmp);
int t=unique(a+,a+n+)-a-;
n=t;
int j=; for(int i=2e6;i>=;i--)
{
while(j<=n&&a[j]>=i) j++;
b[i]=a[j];
}
for(int i=;i<=n;i++)
{
for(int j=;j<=2e6/a[i];j++)
{
ans=max(ans,b[a[i]*j]%a[i]);
}
}
printf("%d\n",ans);
}
yzy大佬用set随手A掉了此题
详见这里
https://blog.csdn.net/yzyyylx/article/details/81013038
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