额,我们今天来讲一讲Miller-Rabin素性测试算法。

读者:怎么又是随机算法!!!(⊙o⊙)…

【好了,言归正传】

【费马小定理】

费马小定理只是个必要条件,符合费马小定理而非素数的数叫做Carmichael

Carmichael数是非常少的。

在1~100000000范围内的整数中,只有255个Carmichael数。

为此又有二次探测定理,以确保该数为素数。

这就构成了Miller-Rabin的基本原理 ╰( ̄▽ ̄)╭

【二次探测定理】

二次探测定理 如果p是一个素数,0<x<p,则方程x^2≡1(mod p)的解为x=1,p-1

【Miller-Rabin】

让我们来模拟一下:

第一步:先计算出m、j,使得n-1=m*2^j,其中m是正奇数,j是非负整数

第二步:随机取一个b,2<=b

第三步:计算v=b^m mod n

第四步:如果v==1,通过测试,返回

第五步:令i=1

第六步:如果v=n-1,通过测试,返回

第七步:如果i==j,非素数,结束

第八步:v=v^2 mod n,i=i+1

第九步:循环到S(S根据数据进行改变)

【算法分析】

既然是随机算法,那么我们就来计算一下这种算法的正确率。

Miller-Rabin的正确率为75%。

怎么这么低(⊙o⊙)…,你可以多调用几次就好了!这样可以使正确概率提高为1-(1/4)^S

【代码】

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<windows.h>
#include<time.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int S=5; //可以根据数据进行更改!!!
ll mod_mul(ll a, ll b, ll n)
{
ll res=0;
while(b)
{
if(b&1) res=(res + a)%n;
a=(a+a)%n;
b>>=1;
}
return res;
} ll mod_exp(ll a, ll b, ll n)
{
ll res=1;
while(b)
{
if(b&1) res=mod_mul(res,a,n);
a=mod_mul(a,a,n);
b>>=1;
}
return res;
}
bool miller_rabin(ll n)
{
if(n==2 || n==3 || n==5 || n==7 || n==11) return true;
if(n == 1 || !(n%2) || !(n%3) || !(n%5) || !(n%7) || !(n%11)) return false;
ll x,pre,u;
int i,j,k=0;
u=n-1;
//要求x^u % n
while(!(u&1))
{ //如果u为偶数则u右移,用k记录移位数
k++;
u >>= 1;
}
srand((ll)time(0));
for(i=0;i<S;++i)
{ //进行S次测试
x=rand()%(n-2) + 2;
//在[2, n)中取随机数
if((x%n)==0) continue;
x=mod_exp(x,u,n);
//先计算(x^u) % n,
pre=x;
for(j=0;j<k;++j)
{ //把移位减掉的量补上,并在这地方加上二次探测
x=mod_mul(x,x,n);
if(x==1 && pre!=1 && pre!=n-1) return false;
//二次探测定理,这里如果x = 1则pre 必须等于 1,或则 n-1否则可以判断不是素数
pre=x;
}
if(x!=1) return false;
//费马小定理
}
return true;
}
int main()
{
long long n;
scanf("%lld",&n);
cout<<miller_rabin(n);
system("pause");
return 0;
}

P.S. 感谢吉林大学的模板,当然这已经改过了,进行了优化。

【你以为这就完了?】

下面我们来研究一下Miller-Rabin的更高效算法

【代码】

#include<windows.h>
#include<iostream>
#include<time.h>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
bool witness(long long a,long long n)
{
long long t,d,x;
d=1;
int i=ceil(log(n-1.0)/log(2.0)) - 1;
for(;i>=0;i--)
{
x=d; d=(d*d)%n;
if(d==1 && x!=1 && x!=n-1) return true;
if( ((n-1) & (1<<i)) > 0)
d=(d*a)%n;
}
return d==1? false : true;
}
bool miller_rabin(long long n)
{
int s[]={2,7,61};
if(n==2) return true;
if(n==1 || ((n&1)==0)) return false;
for(int i=0;i<3;i++)//注意这里的i<3不可以改,因为每次S都只为2,7,61!
if(witness(s[i], n)) return false;
return true;
}
int main()
{
long long n;
scanf("%lld",&n);
cout<<miller_rabin(n);
//system("pause");
return 0;
}

我们发现,它只调用witness函数3次,每次都a为2,7,61。时间很快啊。

但正确率……

:-D   //迷之微笑

【算法杂谈】Miller-Rabin素性测试算法的更多相关文章

  1. 关于Miller-Rabin与Pollard-Rho算法的理解(素性测试与质因数分解)

    前置 费马小定理(即若P为质数,则\(A^P\equiv A \pmod{P}\)). 欧几里得算法(GCD). 快速幂,龟速乘. 素性测试 引入 素性测试是OI中一个十分重要的事,在数学毒瘤题中有着 ...

  2. POJ1811_Prime Test【Miller Rabin素数测试】【Pollar Rho整数分解】

    Prime Test Time Limit: 6000MS Memory Limit: 65536K Total Submissions: 29193 Accepted: 7392 Case Time ...

  3. HDU1164_Eddy&#39;s research I【Miller Rabin素数测试】【Pollar Rho整数分解】

    Eddy's research I Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others ...

  4. 优化后的二次测试Miller_Rabin素性测试算法

    ll random(ll n) { return (ll)((double)rand()/RAND_MAX*n + 0.5); } ll pow_mod(ll a,ll p,ll n) { ) ; l ...

  5. Miller Rabin算法学习笔记

    定义: Miller Rabin算法是一个随机化素数测试算法,作用是判断一个数是否是素数,且只要你脸不黑以及常数不要巨大一般来讲都比\(O(\sqrt n)\)的朴素做法更快. 定理: Miller ...

  6. 【数论基础】素数判定和Miller Rabin算法

    判断正整数p是否是素数 方法一 朴素的判定   

  7. (Miller Rabin算法)判断一个数是否为素数

    1.约定 x%y为x取模y,即x除以y所得的余数,当x<y时,x%y=x,所有取模的运算对象都为整数. x^y表示x的y次方.乘方运算的优先级高于乘除和取模,加减的优先级最低. 见到x^y/z这 ...

  8. 关于素数:求不超过n的素数,素数的判定(Miller Rabin 测试)

    关于素数的基本介绍请参考百度百科here和维基百科here的介绍 首先介绍几条关于素数的基本定理: 定理1:如果n不是素数,则n至少有一个( 1, sqrt(n) ]范围内的的因子 定理2:如果n不是 ...

  9. 素数与素性测试(Miller-Rabin测试)

    转载自Matrix大牛的博客 把代码翻译成C++ http://www.matrix67.com/blog/archives/234 题目链接: http://hihocoder.com/proble ...

随机推荐

  1. 利用xhsell登录到远程腾讯云服务器

    xshell连接管理腾讯云服务器图文教程 打开xshell点击文件新建会话框 linux服务器ssh管理软件XSHELL下载及安装图文教程 输入公网IP地址确认下一步 选中服务器连接 一次性接受,不储 ...

  2. centos6 安装mysql报错Requires: libc.so.6(GLIBC_2.14)

    是应为版本弄混了,不可以把el7的mysql装到el6系统上,重新下载centos6对应的版本的,这里是centos6选择el6版本的 wget http://dev.mysql.com/get/my ...

  3. ORACLE 11G EXPDP交互模式 interactive mode

    expdp导出工具可以实现在导出任务执行过程中修改并行度.终止.监控任务功能. 做实验验证一下: [oracle@test dpdump]$ expdp system/password directo ...

  4. JavaFx客户端服务器C/S架构搭建

    客户端获取服务器端软件更新版本方法: package com.platform.ui.update; import java.io.BufferedInputStream; import java.i ...

  5. Kali 开机报错解决方案

    问题一: piix4_smbus ::007.3: Host SMBus controller not enabled 解决:打开 /etc/modprobe.d/blacklist.conf 末尾加 ...

  6. 001_SPL工作中总结

    一.SPL字段搜索中value带双引号和不带双引号的区别 如:iis.cs_uri_stem:\/api\/Purchase\/Common\/* AND logtype:iis 和iis.cs_ur ...

  7. tcp_tw_reuse、tcp_tw_recycle 使用场景及注意事项

    linux TIME_WAIT 相关参数: net.ipv4.tcp_tw_reuse = 表示开启重用.允许将TIME-WAIT sockets重新用于新的TCP连接,默认为0,表示关闭 net.i ...

  8. DevExpress 隐藏Ribbon中barbuttonItem的SuperTip(2)

    在form界面增加 toolTipController 工具 然后将 ribbonControl.ToolTipController 的属性设置成 toolTipController toolTipC ...

  9. 用GitHub Pages搭了个静态博客

    经过周末两天折腾,终于在GitHub Pages上用Hugo搭了个静态博客. 链接:https://xusiwei.github.io/ @ruanyf 曾经在博客里提到过"喜欢写Blog的 ...

  10. 破解myEclipse

    建立一个java项目,将reg.java放入,并且运行在控制台 输入账户 回车就会出现 序列号 菜单栏--->myeclipse-->substription information--- ...