HDU 6053 TrickGCD 莫比乌斯函数/容斥/筛法

题意：给出n个数$a[i]$，每个数可以变成不大于它的数，现问所有数的gcd大于1的方案数。其中$(n,a[i]<=1e5)$

思路：鉴于a[i]不大，可以想到枚举gcd的值。考虑一个$gcd(a_1,a_2,a_3…a_n)=d$，显然每个$a_i$的倍数都满足，有$\frac{a_i}{d}$种方案

那么一个d对答案的贡献为\[\prod_{i=1}^{min(a)}{\lfloor\frac{a_i}{d}\rfloor}    \]

但是所有的d计入会有重复情况，考虑容斥，对d进行素数分解，发现重复情况就是d的互异素数个数为偶数的，或是素数的指数大于1的。

然后会发现这情况的系数和莫比乌斯函数定义很像$(-f(d)) = \mu(d)=(-1)^k, d={p_1}{p_2}…{p_k}$，$\mu(d) = 0,d为非1整数$

现在我们就要考虑如何快速求得一个d的贡献了，类似筛法的思想，由于a[i]不大，预处理出前缀和，sum[i]代表小于i的数的个数，将按方案数大小分块，累加$cnt^{sum[(cnt+1)*d-1]-sum[cnt*d-1]}$得到结果，乘上容斥系数即可。

\[ ans = \sum_{d=1}^{min(a)}{(-\mu(d)) \sum_{j=1}^{\lfloor \frac{min(a)}{d} \rfloor}{j^{\sum_{i=1}^{n}{[\lfloor \frac{a_i}{d} \rfloor = j]}}          }}  \]

也就是把上式j的指数前缀和优化了一下。

分块优化也是很常见的，和以前的数论组合题已经算简单了，我好鶸鶸鶸鶸鶸鶸阿

/** @Date    : 2017-07-28 19:30:46
  * @FileName: HDU 6053 莫比乌斯函数 容斥 1009.cpp
  * @Platform: Windows
  * @Author  : Lweleth (SoungEarlf@gmail.com)
  * @Link    : https://github.com/
  * @Version : $Id$
  */
#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define PII pair
#define MP(x, y) make_pair((x),(y))
#define fi first
#define se second
#define PB(x) push_back((x))
#define MMG(x) memset((x), -1,sizeof(x))
#define MMF(x) memset((x),0,sizeof(x))
#define MMI(x) memset((x), INF, sizeof(x))
using namespace std;
 
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 1e5+20;
const double eps = 1e-8;
const LL mod = 1e9 + 7;
 
LL pri[N];
LL mu[N];
LL sum[N];
bool vis[N];
int c = 0;
 
void mobius()
{
    MMF(vis);
    mu[1] = 1;
    for(int i = 2; i < N; i++)
    {
        if(!vis[i])
            pri[c++] = i, mu[i] = -1;
        for(int j = 0; j < c && i * pri[j] < N; j++)
        {
            vis[i * pri[j]] = 1;
            if(i % pri[j])
                mu[i * pri[j]] = -mu[i];
            else
            {
                mu[i * pri[j]] = 0;
                break;
            }
        }
    }
    for(int i = 0; i < N; i++)
    	mu[i] *= -1;
}
 
LL fpow(LL x, LL n)
{
	LL ans = 1;
	while(n > 0)
	{
		if(n & 1)
			ans = ans * x % mod;
		x = x * x % mod;
		n >>= 1;
	}
	return ans;
}
 
int n;
LL a[N];
 
int main()
{
	int icase = 0;
	int T;
	cin >> T;
	mobius();
	while(T--)
	{
		MMF(sum);
		scanf("%d", &n);
		LL mi = INF;
		LL ma = -1;
		for(int i = 0; i < n; i++)
		{
			scanf("%lld", a + i);
			mi = min(a[i], mi);
			ma = max(a[i], ma);
			sum[a[i]]++;
		}
		for(int i = 2; i <= ma; i++)
			sum[i] += sum[i - 1];
 
		LL ans = 0;
		for(LL g = 2; g <= mi; g++)
		{
			if(mu[g] == 0)
				continue;
			LL t = 1;
			LL cnt = 1;
			while(true)
			{
				int l = min(cnt * g, ma);
				int r = min((cnt + 1) * g - 1, ma);
				if(r > l - 1)
					t = (t * fpow(cnt, sum[r] - sum[l - 1]) % mod + mod) % mod;
				if(r == ma)
					break;
				cnt++;
			}
			//cout << t <<endl;
			ans = (ans + mu[g] * t + mod) % mod;
		}
		while(ans < 0)
			ans += mod;
		printf("Case #%d: %lld\n", ++icase, ans);
	}
    return 0;
}