题意:将1~2n个数按照顺时针排列好,用一条线将两个数字连接起来要求:线之间不能有交点,同一个点只允许被连一次。

最后问给出一个n,有多少种方式满足条件。

卡特兰数(列):

令h(0)=1,h(1)=1,catalan数满足递推式:h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)
例如:h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2               h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5
另类递推式:        h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);
递推关系的解为: h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)
递推关系的另类解为:    h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,...)

一些方面的应用:

1. 括号化:矩阵连乘:P=a1×a2×a3×……×an,依据乘法结合律,不改变其顺序,只用括号表示成对的乘积,试问有几种括号化的方案?(h(n-1)种)
2.一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,…,n,有多少个不同的出栈序列?
3.给定n个点求能组成的二叉树所有总数。
4. 凸多边形三角划分(任意两顶点之间的连线必能相交),求有多少中分割的方法(类似:在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数) 
5. n层阶梯切割为n个矩形的切割方法总数

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = ;
const int moder = ;
int a[][];
void catalan()
//求卡特兰数,a[i][j]存储的是第i个逆序(高位在后)的卡特兰数(从0开始),且未对高位0进行处理
{
int i, j, len, carry, temp;
a[][] = ;
len = ;
for(i = ; i <= ; i++)
{
for(j = ; j < len; j++) //乘法
a[i][j] = a[i-][j]*(*(i-)+);
carry = ;
for(j = ; j < len; j++) //处理相乘结果
{
temp = a[i][j] + carry;
a[i][j] = temp % ;
carry = temp / ;
}
while(carry) //进位处理
{
a[i][len++] = carry % ;
carry /= ;
}
carry = ;
for(j = len-; j >= ; j--) //除法
{
temp = carry* + a[i][j];
a[i][j] = temp/(i+);
carry = temp%(i+);
}
}
}
int main()
{
int n;
catalan() ;
while(scanf("%d",&n) ,n != -)
{
int flag = ;
for(int i = ;i >= ;i--)//处理高位
{
if(a[n][i] != )
flag = ;
if(flag)
printf("%d",a[n][i]);
}
printf("\n");
}
return ;
}

————不是很懂

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