数据结构与算法之PHP排序算法（堆排序）

一、堆的定义

堆通常是一个可以被看做一棵树的数组对象，其任一非叶节点满足以下性质：

1）堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值：

　　每个节点的值都大于或等于其左右子节点的值，称为大顶堆。即：arr[i] >= arr[2i+1] && arr[i] >= arr[2i+2]。

　　或：

　　每个节点的值都小于或等于其左右子节点的值，称为小顶堆。即：arr[i] <= arr[2i+1] && arr[i] <= arr[2i+2]。

2）堆总是一棵完全二叉树。

注：上述公式，根节点从0开始。如果根节点从1开始，则左右子节点分别是2i和2i+1。

由上述性质可知：堆顶元素（或完全二叉树的根）必定是所有元素中最大值（大顶堆）或最小值（小顶堆）。

 

二、基本思想

以大顶堆为例，将待排序的序列构造成一个大根堆，此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点。将它移走（也就是将其与堆数组的末尾元素交换，此时末尾元素就是最大值），然后将剩余的n-1个序列重新构造成一个堆，这样就会得到n个元素中的次小的值。如此反复执行，便能得到一个有序序列了。

 

三、算法过程

1）将无需序列构建成一个堆，根据升序降序需求选择大顶堆或小顶堆;

2）将堆顶元素与末尾元素交换，将最大元素"沉"到数组末端;

3）重新调整结构，使其满足堆定义，然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素，反复执行调整+交换步骤，直到整个序列有序。

以大顶堆为例，

创建堆：

1）将n个元素从0到n-1（或从1到n）自顶向下、从左到右编码，转换成一棵完全二叉树；

2）从n/2的非叶节点开始到根节点，逐个扫描，如果子节点大于父节点，就交换；

3）直到根节点最大，如果子树不满足最大堆的条件，继续调节，直到所有的父节点都大于子节点为止。

堆排序：

1）排序开始，首先输出堆顶元素，因为它是最大值；

2）将堆顶元素和最后一个元素交换；

3）将前面n-1个节点继续进行堆调整的过程，再将根节点取出，交换堆顶和最后一个元素；

4）这样一直到所有节点都取出，则排序完成。

 

四、算法图解

待排序序列为49、38、65、97、76、13、27、50，其逻辑结构和存储结构如下：

1)构造大顶堆

① 从最后一个非叶子节点开始，第一个非叶子节点 arr.length/2-1=8/2-1=3，也就是97，在[97, 50]这个小堆里边,父节点97最大，所以不交换；

② 找到第2个非叶子节点，也就是位置为2的节点65，在[65, 13, 27]这个小堆里边,父节点65最大，所以不交换；

③ 找到第3个非叶子节点，也就是位置为1的节点38，在[38, 97, 76]这个小堆里边，97最大，38和97交换；

④ 找到第4个非叶子节点，也就是位置为0的节点49，在[49, 97, 65]这个小堆里边，97最大，49和97交换；

⑤ 交换导致了子根[49, 38, 76]结构混乱，继续调整，[49, 38, 76]中76最大，49和76交换；

⑥ 子根[38, 50]结构混乱，继续调整，[38, 50]中50最大，38和50交换；

至此，一个无序序列已经构造成一个大顶堆。

 

2)堆排序

① 将堆顶元素97和末尾元素38进行交换，得到最大元素97；

② 重新调整结构，使其继续满足大顶堆的定义；

③ 再将堆顶元素76与末尾元素27进行交换，得到第二大元素76；

④ 重新调整结构，使其继续满足大顶堆的定义；

⑤ 后续过程，继续进行交换、调整，如此反复进行，最终使得整个序列有序。

由排序过程可知：若想得到升序，则建立大顶堆，若想得到降序，则建立小顶堆。

 

五、PHP代码实现（大顶堆）

<?php

// 堆排序

function heapSort(&$arr) {

    $len = count($arr);

    // 先将数组构造成大根堆

    for ($i = floor($len / 2) - 1; $i >= 0; $i--) {

        adjustHeap($arr, $i, $len);

    }

    // 调整堆结构+交换堆顶元素与末尾元素

    for ($j = $len - 1; $j > 0; $j--) {

        swap($arr, 0, $j);  // 将堆顶元素与末尾元素进行交换

        adjustHeap($arr, 0, $j); // 重新对堆进行调整

    }

}

 

// 调整堆

function adjustHeap(&$arr, $i, $length) {

    $temp = $arr[$i];   // 先取出当前元素

    for ($k = 2 * $i + 1; $k < $length; $k = 2 * $k + 1) {// 左孩子2 * $i + 1，右孩子2 * $i + 2

        if ($k + 1 < $length && $arr[$k] < $arr[$k + 1]) {// 如果左子结点小于右子结点，k指向右子结点

            $k ++;

        }

        if ($temp < $arr[$k]) {

            $arr[$i] = $arr[$k]; // 将根节点设置为子节点的较大值

            $i = $k;             // 继续往下

        } else {

            break;  // 已经满足大根堆

        }

 

    }

    $arr[$i] = $temp;   // 将temp值放到最终的位置

}

 

// 交换2个值

function swap(&$arr, $a, $b) {

    $temp = $arr[$a];

    $arr[$a] = $arr[$b];

    $arr[$b] = $temp;

}

 

// 测试

$arr = array(49, 38, 65, 97, 76, 13, 27, 50);

heapSort($arr);

print_r($arr);

 

六、效率分析

1、时间复杂度：O(nlogn)

最坏，最好，平均时间复杂度均为O(nlogn)。

2、空间复杂度：堆排序仅需一个记录大小的供交换用的辅助存储空间，因此空间复杂度为O(1)，是不稳定排序。