[JSOI2010] 连通数

Description

Input

输入数据第一行是图顶点的数量，一个正整数N。 接下来N行，每行N个字符。第i行第j列的1表示顶点i到j有边，0则表示无边。

Output

输出一行一个整数，表示该图的连通数。

HINT

对于100%的数据，N不超过2000。

Solution

\(Tarjan\) 缩点 \(+\) 拓扑排序 \(+\) \(bitset\) 优化状压

显然对于每个强联通分量我们都要求出在新图上它能到达哪些点。

如何求呢？

法一： \(dfs\)，对于每个强联通分量找一下它连出去的边能到达哪些联通块，统计答案即可。复杂度 \(O(n^2)\)。(只是口胡一下没有写这种方法如果写不出来别找我)

法二：我们定义数组 \(f[i][j]\) 表示能否从第 \(i\) 个连通分量到达第 \(j\) 个连通分量。因为值只能为 \(0/1\)，我们用 \(bitset\) 来状压第二维。因为 \(f[j]=or(f[i]),j\;can\;go\;to\;i\)，所以我们在新图上建立一张反图，拓扑排序，按照拓扑序即可求出每个点能到达哪些点。 复杂度 \(O(n^2/32)\)。

Code

#include<queue>
#include<bitset>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<iostream>
#define N 2005
#define min(A,B) ((A)<(B)?(A):(B))

int ans;
char ch[N];
bool in[N];
int n,cnt,sum,tot;
int dfn[N],low[N];
std::bitset<N> f[N];
std::queue<int> topo;
int belong[N],deg[N];
int head[N],head2[N];
int stk[N],top,sze[N];

struct Edge{
    int to,nxt;
}edge[N*N],edge2[N*N];

void add(int x,int y){
    edge[++cnt].to=y;
    edge[cnt].nxt=head[x];
    head[x]=cnt;
}

void add2(int x,int y){
    edge2[++cnt].to=y;
    edge2[cnt].nxt=head2[x];
    head2[x]=cnt;
}

int getint(){
    int x=0;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) ch=getchar();
    while(isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
    return x;
}

void tarjan(int now){
    dfn[now]=low[now]=++sum;
    stk[++top]=now;in[now]=1;
    for(int i=head[now];i;i=edge[i].nxt){
        int to=edge[i].to;
        if(!dfn[to]){
            tarjan(to);
            low[now]=min(low[now],low[to]);
        }
        else if(in[to])
            low[now]=min(low[now],dfn[to]);
    }
    if(low[now]==dfn[now]){
        int y; tot++;
        do{
            y=stk[top--];
            belong[y]=tot;
            sze[tot]++;
            in[y]=0;
        }while(y!=now);
    }
}

signed main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%s",ch);
        for(int j=0;j<n;j++){
            if(ch[j]=='0') continue;
            add(i,j+1);
        }
    }
    cnt=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(!dfn[i])
            tarjan(i);
    }
    for(int x=1;x<=n;x++){
        for(int i=head[x];i;i=edge[i].nxt){
            int to=edge[i].to;
            if(belong[x]==belong[to]) continue;
            deg[belong[x]]++;
            add2(belong[to],belong[x]);
        }
    }
    for(int i=1;i<=tot;i++)
        f[i][i]=1;
    for(int i=1;i<=tot;i++){
        if(!deg[i])
            topo.push(i);
    }
    while(topo.size()){
        int u=topo.front();topo.pop();
        for(int i=head2[u];i;i=edge2[i].nxt){
            int to=edge2[i].to;
            deg[to]--;
            f[to]|=f[u];
            if(!deg[to])
                topo.push(to);
        }
    }
    for(int i=1;i<=tot;i++){
        for(int j=1;j<=tot;j++){
            if(f[i][j])
                ans+=sze[i]*sze[j];
        }
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}