UVA - 1602 Lattice Animals (暴力+同构判定)

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题意：求能放进w*h的网格中的不同的n连通块个数(通过平移/旋转/翻转后相同的算同一种)，1<=n<=10,1<=w,h<=n。

刘汝佳的题真是一道比一道让人自闭...QAQ~~

这道题没什么好的办法，Polya定理也毫无用武之地，只能暴力构造出所有可能的连通块，然后用set判重，比较考验基本功。

连通块可以用一个结构体D来表示，D的n代表黑块数量，然后有至多10个点P(x,y)，用另一个结构体数组P[N]来表示。

问题的关键在于如何判重。

首先要知道set是通过<运算符来判重的，因此肯定要重载一下<运算符。既然要重载<运算符，那么就需要能比较出两个连通块的大小来。

如何比较两个黑块数量相同的连通块的大小呢？可以类比向量的字典序大小比较法，把所有的黑块按照x从小到大排序，x相同的按y从小到大排序，就可以比较大小了。

但是同构的两个连通块之间是不具有大小关系的，因此要先想办法把同构的连通块弄成统一的样子。

考虑三类等价变换：

1.平移：$(x,y)\leftrightarrow(x+a,y+b)$

2.旋转：$(x,y)\leftrightarrow(-y,x)$

3.翻转：$(x,y)\leftrightarrow(-x,y)$

所有同构的连通块都可以通过以上三类变换相互得到，对于同构的连通块，可以只保留其中字典序最小的。由于通过旋转和翻转能构造出的不同连通块只有8种，因此可以枚举这8中连通块，然后平移到左上角，取其中字典序最小的即可。

注意在比较字典序的时候，正反都要比较一下。（某人因为忘了反着比较而花了两个小时写了一整页代码来debug~~）

然后就没什么特别需要注意的了，设st[i][j][k]为用i个黑块能构造出j*k(j<=k)的异构连通块的集合，递推搞一搞就行了。

代码：（七重for循环，大概是我写过的层数最多的for循环了~~UVA的评测机也很给力，本地要跑300+ms，交上去30ms就过了）

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 const int N=+,inf=0x3f3f3f3f;
 const int dx[]= {,,-,};
 const int dy[]= {-,,,};
 //格点
 struct P {
     int x,y;
     bool operator==(const P& b)const {return x==b.x&&y==b.y;}
     bool operator<(const P& b)const {return x!=b.x?x<b.x:y<b.y;}
 };
 //连通块
 struct D {
     int n;
     P p[N];
     D(int _n):n(_n) {}
     //字典序比较，重点
     bool operator<(const D& b)const {
         for(int i=; i<n; ++i) {
             if(p[i]<b.p[i])return ;
             if(b.p[i]<p[i])return ;
         }
         return ;
     }
     //旋转
     D rot() {
         D ret(n);
         for(int i=; i<n; ++i)ret.p[i]= {-p[i].y,p[i].x};
         return ret;
     }
     //翻转
     D flip() {
         D ret(n);
         for(int i=; i<n; ++i)ret.p[i]= {-p[i].x,p[i].y};
         return ret;
     }
     //平移到左上角
     D norm() {
         D ret=*this;
         int dx=inf,dy=inf;
         for(int i=; i<n; ++i)dx=min(dx,ret.p[i].x),dy=min(dy,ret.p[i].y);
         for(int i=; i<n; ++i)ret.p[i].x-=dx,ret.p[i].y-=dy;
         sort(ret.p,ret.p+n);
         return ret;
     }
     //字典序最小的同构
     D minimum() {
         D a=this->norm(),b=a;
         for(int i=; i<; ++i,b=b.flip())
             for(int j=; j<; ++j,b=b.rot()) {
                 b=b.norm();
                 if(b<a)a=b;
             }
         return a;
     }
 };
 set<D> st[N][N][N];
 int n,w,h,ans;
 
 int main() {
     D t();
     t.p[]= {,};
     st[][][].insert(t);
     for(int _=; _<; ++_) {
         for(int i=; i<=; ++i)
             for(int j=i; j<=; ++j) {
                 for(D t:st[_][i][j]) {
                     t.n++;
                     for(int k=; k<t.n-; ++k) {
                         for(int f=; f<; ++f) {
                             t.p[t.n-]= {t.p[k].x+dx[f],t.p[k].y+dy[f]};
                             bool ff=;
                             for(int l=; l<t.n-; ++l)if(t.p[t.n-]==t.p[l]) {ff=; break;}//防止格点重复
                             if(!ff)continue;
                             int maxx=~inf,minx=inf,maxy=~inf,miny=inf;
                             for(int l=; l<t.n; ++l) {
                                 maxx=max(maxx,t.p[l].x);
                                 minx=min(minx,t.p[l].x);
                                 maxy=max(maxy,t.p[l].y);
                                 miny=min(miny,t.p[l].y);
                             }
                             int tx=maxx-minx+,ty=maxy-miny+;
                             if(tx>ty)swap(tx,ty);
                             st[_+][tx][ty].insert(t.minimum());
                         }
                     }
                 }
             }
     }
     while(scanf("%d%d%d",&n,&w,&h)==) {
         ans=;
         if(w>h)swap(w,h);
         for(int i=; i<=w; ++i)
             for(int j=; j<=h; ++j)
                 ans+=st[n][i][j].size();
         printf("%d\n",ans);
     }
     return ;
 }