mobius反演讲解
mobius反演的基本形式为,假设知道函数F(x)=Σf(d) d|x,那么我们可以推出f(x)=Σmiu(d)*F(x/d) d|x,另一基本形式为假设知道函数F(x)=Σf(d) x|d,那么我们可以推出f(x)=Σmiu(d)*F(d/x) x|d,第二种形式可以由容斥定理得出,在此不再赘述。
我们由一个例子来了解mobius反演的作用。
求解ans=Σ(0<i<=n)Σ(0<j<=m)1(gcd(i,j)=1)即n,m范围中互质点对儿数。
我们设 F(x)为gcd(i,j)|x的点对儿数量,f(x)为gcd(i,j)=x的点对儿数量。那么易得F(x)=Σf(d) x|d,那么由第二形式可得f(x)=Σmiu(d)*F(d/x) x|d,那么这道题就是求f(1),即f(1)=Σmiu(d)*F(d) d<=min(n,m),比较显然的是F(x)=floor(n/d)*floor(m/d)。那么我们可以得到答案的形式
ans=Σmiu(i)*floor(n/i)*floor(m/i)。可以O(n)的求解。
但是对于某些问题,O(n)是无法在规定时间内完成的,我们考虑w=floor(n/i)*floor(m/i),对于i递增,w为不减的,即存在连续段w值相同。那么我们可以求出mobius函数的前缀和,然后分块的来求解,我们找到w值相同的区间,即存在j,满足floor(n/j)=floor(n/i),floor(m/j)=floor(m/i),那么j=min(floor(n/floor(n/i)),floor(m/floor(m/i))),这样对于w相同的块儿一起处理就行了,这样时间复杂度就变成了O(sqrt(n))。
基础题bzoj 2301 http://61.187.179.132/JudgeOnline/problem.php?id=2301
这道题就是多了一个容斥定理求解,基本的思路和上面的相同,可以作为练手题。
/**************************************************************
Problem:
User: BLADEVIL
Language: Pascal
Result: Accepted
Time: ms
Memory: kb
****************************************************************/ //By BLADEVIL
var
a, b, c, d, k, t :longint;
ans :int64;
i :longint;
prime, miu, mindiv :array[..] of longint;
sum :array[..] of int64; procedure make;
var
i, j :longint;
begin
miu[]:=;
for i:= to do
begin
if mindiv[i]= then
begin
inc(prime[]);
prime[prime[]]:=i;
mindiv[i]:=i;
miu[i]:=-;
end;
for j:= to prime[] do
begin
if i*prime[j]> then break;
mindiv[i*prime[j]]:=prime[j];
if i mod prime[j]= then
begin
miu[i*prime[j]]:=;
break;
end else
miu[i*prime[j]]:=-miu[i];
end;
end;
for i:= to do sum[i]:=sum[i-]+miu[i];
end; function calc(n,m:longint):longint;
var
t, t1, t2 :int64;
i :longint;
xx :int64;
begin
calc:=;
i:=;
if n>m then xx:=m else xx:=n;
while i<=xx do
begin
t1:=n div (n div i);
t2:=m div (m div i);
if t1<t2 then t:=t1 else t:=t2;
calc:=calc+(sum[t]-sum[i-])*(n div i)*(m div i);
i:=t+;
end;
end; begin
make;
readln(t);
for i:= to t do
begin
readln(a,b,c,d,k);
ans:=int64(calc(b div k,d div k))
-int64(calc((c-) div k,b div k))
-int64(calc((a-) div k,d div k))
+int64(calc((a-) div k,(c-) div k));
writeln(ans);
end;
end.
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