Gym 101606 F-Flipping Coins（概率dp）

参考博客：http://www.cnblogs.com/kang000/p/8571071.html  （这篇博客写的真的走心，ORZ）

题意
有n个硬币排成一排，开始的时候所有的硬币都是正面朝下，你必须要扔K次硬币，每次选择一个硬币，如果你采取最优策略，K次以后朝上的硬币数的最大期望是多少？

分析

一脸懵逼两脸懵逼三脸懵逼···

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随机变量X是指朝上的硬币数，当有N枚硬币的时候，X=0，1，2，3....N

E(X)=1*p(1)+2*p(2)+....+n*p(n)。

要想求最大期望，我们在扔硬币的时候要遵循一个策略：尽量扔正面朝下的硬币

如果当前有0到n-1枚硬币正面朝上，我们可以选择正面朝下的硬币来扔，扔完以后朝上硬币数不变或者+1

如果当前有n枚硬币正面朝上，我们只能选择正面朝上的硬币来扔，扔完以后朝上的硬币数不变或者-1

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令dp[i][j]为扔i次以后j枚硬币朝上的概率

根据上面总结的规律，我们可以的到状态转移方程

当j<n的时候

dp[i+1][j]+=dp[i][j]*0.5

dp[i+1][j+1]+=dp[i][j]*0.5

当j=n的时候

dp[i+1][j+1]+=dp[i][j]*0.5

dp[i+1][j-1]+=dp[i][j]*0.5

这样递推出概率来以后遍历一遍j求期望就好了~

 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <iostream>
 #include <algorithm>
 
 using namespace std;
 const int maxn=;
 double dp[maxn][maxn];
 int n,k;
 int main(){
     scanf("%d%d",&n,&k);
     memset(dp,,sizeof(dp));
     dp[][]=;
 
     for(int i=;i<k;i++){
         for(int j=;j<=n;j++){
             if(j<n){
                 dp[i+][j]+=0.5*dp[i][j];
                 dp[i+][j+]+=0.5*dp[i][j];
             }
             if(j==n){
                 dp[i+][j]+=0.5*dp[i][j];
                 dp[i+][j-]+=0.5*dp[i][j];
             }
         }
     }
     /*for(int i=0;i<=k;i++){
         for(int j=0;j<=n;j++){
             printf("%d %d %f\n",i,j,dp[i][j]);
         }
     }*/
    double ans=;
    for(int i=;i<=n;i++){
     ans+=dp[k][i]*i;
    }
    printf("%.6f",ans);
 
 return ;
 }