算法总结篇---AC自动机

写在前面
算法流程
例题

写在前面

鸣谢：

OiWiki

「笔记」AC 自动机---LuckyBlock

字符串四姐妹---老色批

AC自动机讲解超详细---某不知名大佬

Q：AC自动机？是能自己AC题目的算法吗？（兴奋）

A：不不不，那叫自动AC机，通过打开答案文件输出答案的一种小手段，在比赛中使用还会有禁赛三年的奖励，而AC自动机是一个字符串匹配算法

AC自动机，全称$Aho-Corasick\ automaton$，是一种用来处理字符串多模式匹配的算法

本人将尽可能详细的解释AC自动机的算法流程(其实大部分抄的Oiwiki，这是一个帮助我们共同理解的过程，毕竟作者也是个萌新。开始接受的过程可能比较困难，但多回顾几遍还是有助于理解的

算法流程

前置知识：Trie树以及KMP算法的思想

什么是自动机？（粘个链接，感性理解就好，不要过于执着）

引例：

给定 $n$ 个模式串 $s_i$ 和一个文本串 $t$，求有多少个不同的模式串在文本串里出现过。

两个模式串不同当且仅当他们编号不同。

概述：

结合Trie的结构和KMP的思想建立，建立一个AC自动机主要通过两个步骤：

1、建立Trie树；
2、对Trie树上的所有结点构造失配指针

Trie树的构建（第一步）

这个Trie树就是普通的Trie树，该怎么建怎么建

解释一下Trie树结点的含义：表示某个模式串的前缀

后文也将称作状态。一个结点表示一个状态，Trie树的边就是状态的转移

形式化的说，对于若干个模式串 $s_1,s_2,s_3···s_n$，将它们构建一个Trie树后的所有状态的集合记为 $Q$

失配指针（第二步）

AC 自动机利用一个 fail 指针来辅助多模式串的匹配。

状态 $u$ 的 fail 指针指向另一个状态 $v$ ，其中 $v \in Q$ ，且 $v$ 是 $u$ 的最长后缀（即在若干个后缀状态中取最长的一个作为 fail 指针）。

注意和KMP的next指针的区别：

两者都是在失配的时候用于跳转的指针；

next指针求的是最长的border（最长的相同的前后缀），而fail指针指向所有模式串的前缀中匹配当前状态的最长后缀

因为 KMP 只对一个模式串做匹配，而 AC 自动机要对多个模式串做匹配。有可能 fail 指针指向的结点对应着另一个模式串，两者前缀不同。

AC 自动机在做匹配时，同一位上可匹配多个模式串。

构建失配指针

（可以参考KMP中构建next指针的思想（

考虑更新 $fail_u$，$u$ 的父节点是 $p$ , $p$ 通过字符 $c$ 的边指向 $u$ ，即 $tr[p,c] = u$ 。假设深度小于 $u$ 的所有结点的 $fail$ 指针均已求得。

如果 $tr[fail_p,c]$ 存在：则让 $fail_u$ 指向 $tr[fail[p],c]$ 。相当于在 $p$ 和 $fail$ 后面加一个字符 c ，分别对应 $u$ 和 $fail_u$ 。

如果 $tr[fail_p,c]$ 不存在：那么我们继续找到 $tr[fail_{fail_p},c],c]$ 。重复 $1$ 的判断过程，一直跳 $fail_u$ 指针指到根结点。

如果真的没有，就让 $fail_u$ 指针指向根结点。

这样就完成了 $fail$ 的构建，并得到一份比较暴力的构建方式，我们来看优化

字典树和字典图

先来看构建函数 build() ，该函数的目标有两个，一个是构建 fail 指针，一个是构建自动机。

void build(){

		for(int i = 0; i < 26; ++i) if(tr[0][i]) q.push(tr[0][i]);

		//如果存在这个边就入队

		while(!q.empty()){

			int u = q.front(); q.pop();

			for(int i = 0; i < 26; ++i){

				if(tr[u][i]) fail[tr[u][i]] = tr[fail[u]][i], q.push(tr[u][i]);

				//按照上面所说的方式更新fail指针

				else tr[u][i] = tr[fail[u]][i];//这是那个优化，后面会讲

			}

		}

	}

原来的构建方法可以通过 $while$ 循环寻找 $fail$ 结点实现，循环太多次导致复杂度太高

上面提到的优化就是通过else语句的代码修改了字典树的结构。

而它将不存在的字典树状态链连接到失配指针的对应状态。使得再次遍历这里的时候会继续向下跳转，起到一个通过继续开链来压缩路径的效果，这样就能节省很多时间。

这样AC 自动机修改字典树结构连出的边就会使字典树变为字典图

会不会影响原树？在原字典树中，每一个结点代表一个字符串，是某个模式串的前缀。而在修改字典树结构后，尽管增加了许多转移关系，但结点（状态）所代表的字符串是不变的。

多模式匹配

（这只是对于引例的query函数，具体题目的函数写法可能不太相同）

int query(char *t){

		int u = 0, res = 0;

		for(int i = 1; t[i]; ++i){

			u = tr[u][t[i] - 'a'];

			for(int j = u; j && e[j] != -1; j = fail[j]){

				res += e[j], e[j] = -1;

			}

		}

		return res;

	}

这里 $u$ 作为字典树上当前匹配到的结点， $res$ 即返回的答案。循环遍历匹配串， $u$ 在字典树上跟踪当前字符。利用 $fail$ 指针找出所有匹配的模式串，累加到答案中。然后清零。对 $cnt[j]$ 取反的操作用来判断 $cnt[j]$ 是否等于 $-1$。在上文中我们分析过，字典树的结构其实就是一个 $trans$ 函数，而构建好这个函数后，在匹配字符串的过程中，我们会舍弃部分前缀达到最低限度的匹配。$fail$ 指针则指向了更多的匹配状态。

例题

P3808 【模板】AC自动机（简单版）

P3796 【模板】AC自动机（加强版）

P5357 【模板】AC自动机（二次加强版）