1768:最大子矩阵（NOIP2014初赛最后一题）

1768:最大子矩阵

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描述

已知矩阵的大小定义为矩阵中所有元素的和。给定一个矩阵，你的任务是找到最大的非空(大小至少是1 * 1)子矩阵。

比如，如下4 * 4的矩阵

0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2

的最大子矩阵是

9 2
-4 1
-1 8

这个子矩阵的大小是15。

输入

输入是一个N * N的矩阵。输入的第一行给出N (0 < N <= 100)。再后面的若干行中，依次（首先从左到右给出第一行的N个整数，再从左到右给出第二行的N个整数……）给出矩阵中的N²个整数，整数之间由空白字符分隔（空格或者空行）。已知矩阵中整数的范围都在[-127, 127]。

输出

输出最大子矩阵的大小。

样例输入

4
0 -2 -7 0 9 2 -6 2
-4 1 -4  1 -1
 
8  0 -2

样例输出

15

来源

翻译自 Greater New York 2001 的试题

分析：

先对每一行计算前缀和数组，用于方便地计算每一行指定段的元素之和。

然后枚举子矩阵的起始列first、结束列last。然后在这个区域计算列数为last-first+1的所有子矩阵的最大和。（计算过程类似一维矩阵的最大子段和。）

 #include <stdio.h>
 const int SIZE = ;
 int matrix[SIZE + ][SIZE + ];
 int rowsum[SIZE + ][SIZE + ]; //rowsum[i][j]记录第 i 行前 j 个数的和
 int m, n, i, j, first, last, area, ans;
 int main()
 {
     scanf("%d",&n);
     m=n;
     for (i = ; i <= m; i++)
         for (j = ; j <= n; j++)
             scanf("%d", &matrix[i][j]);
     ans = matrix[][];
     for (i = ; i <= m; i++)
         rowsum[i][]=;
     for (i = ; i <= m; i++)
         for (j = ; j <= n; j++)
             rowsum[i][j] = rowsum[i][j-]+matrix[i][j];
     for (first = ; first <= n; first++)
         for (last = first; last <= n; last++)
         {
             area=;
             for (i = ; i <= m; i++)
             {
                 area += rowsum[i][last] -rowsum[i][first-];
                 if (area > ans) ans = area;
                 if (area < ) area = ;
             }
         }
     printf("%d\n", ans);
     return ;
 }