【小白的CFD之旅】18 控制方程基础

忙碌了一个学期终于放暑假了，小白心情很愉快。然而想起CFD教材上的那些点缀着各种让人眼花缭乱符号的数学公式，整个人就不好了。不过这些事情小白也不好意思去麻烦师兄师姐们，还得靠自己去摸索。正好趁着暑假把这些东西整理一下。小白觉得最基础的CFD理论是流动控制方程，除此之外是各种数值算法。
所谓的流动控制方程，指的是流体流动过程中所需要遵循的物理规
律，最常见的流动控制方程包括质量守恒方程、动量守恒方程与能量守恒方程。针对不同的流动工况，控制方程可能还包括组分守恒方程、湍流方程、状态方程等。然而对于任何流动问题，都必须遵循质量守恒方程和动量守恒方程。在非常多去的参考文献中，质量守恒方程也称之为连续方程，而把动量方程称之为纳维-斯托克斯方程，简称NS方程，CFD的任务即求解NS方程。

1 连续方程（质量守恒方程）

连续性方程比较简单。简单来讲，就是流入（流出）系统中的质量要等于系统质量的增加量（减少量）。
连续方程更严谨的表述为：
[控制体内流体质量变化率] = [穿过控制体表面的流体质量流量]
因此有：
\[\frac{d}{dt}\int_{v}{\rho dV}=-\int_{s}{\rho \vec{v}\cdot \textbf{n}dS}\]
式中，\(\textbf{n}\)为单位法向矢量。
利用高斯散度定理（一个矢量散度的体积分应等于这个体积表面通量的面积分），即：
\[-\int_{S}{\rho \vec{v} \cdot \textbf{n}dS}=\frac{d}{dt}\int_{V}{div\rho \vec{v}dV}\]

则有：
\[\frac{d}{dt}\int_{V}\rho dV = \frac{d}{dt}\int_{V}{div\rho \vec{v}dV}\]

改变形式可得：

\[
\int_{V}\left[\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla \cdot (\rho \vec{v})\right]dV = 0
\]

式中，\(\nabla \cdot (\rho \vec{v}) \equiv div\rho \vec{v}\)。

由于推导过程中对控制体形状未做任何限定，因此意味着
\[
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla \cdot (\rho \vec{v}) = 0
\]

此即流动控制方程的质量守恒方程。
可展开为：
\[
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial (\rho u)}{\partial x}+\frac{\partial (\rho v)}{\partial y}+\frac{\partial (\rho w)}{\partial z}=0
\]

对于不可 压缩流体介质，其密度\(\rho\)为常数，则质量守恒方程可简化为：
\[
\nabla \cdot \vec{v}=0
\]
展开即为：
\[
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0
\]

2 随体导数

随体导数是流体力学中的概念，与数学上的导数概念有差异。随体导数通常指流体微团岁时间的变化率。
随体导数用\(\frac{D}{Dt}\)来表示。其形式为：
\[
\frac{D()}{Dt} = \frac{\partial() }{\partial t}+u \frac{\partial() }{\partial x}+v\frac{\partial()}{\partial y}+w\frac{\partial()}{\partial z}
\]

随体导数非常有用。若将单位质量通用变量记为\(\phi\)，将\(\phi\)对时间的随体导数记为\(D\phi/Dt\)，则有：
\[
\frac{D\phi}{Dt} = \frac{\partial \phi}{\partial t}+u \frac{\partial \phi}{\partial x}+v \frac{\partial \phi}{\partial y}+w\frac{\partial \phi}{\partial z}
\]
此方程定义了单位质量通用变量\(\phi\)对时间的变化率。而单位控制体体积内通用变量\(\phi\)的密度可通过密度\(\rho\)与\(\phi\)的随体导数的乘积得到，即
\[
\rho \frac{D\phi}{Dt} = \rho \frac{\partial \phi}{\partial t}+\rho u \frac{\partial \phi}{\partial x}+\rho v \frac{\partial \phi}{\partial y}+\rho w\frac{\partial \phi}{\partial z}
\]
此式表示单位控制体内通用变量\(\phi\)变化率的非守恒形式。

通过质量守恒方程

\[
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial (\rho u)}{\partial x}+\frac{\partial (\rho v)}{\partial y}+\frac{\partial (\rho w)}{\partial z}=0
\]
容易猜想通用变量\(\phi\)的守恒形式的各项可统一表示为：
\[
\frac{\partial(\rho \phi)}{\partial t}+\frac{\partial(\rho u \phi)}{\partial x}+\frac{\partial (\rho v \phi )}{\partial y}+\frac{\partial (\rho w \phi)}{\partial z}=0
\]

转换形式：

\[
\frac{\partial(\rho \phi)}{\partial t}+\frac{\partial(\rho u \phi)}{\partial x}+\frac{\partial (\rho v \phi )}{\partial y}+\frac{\partial (\rho w \phi)}{\partial z}=\rho \frac{\partial \phi}{\partial t}+\rho u \frac{\partial \phi}{\partial x}+\rho v \frac{\partial \phi}{\partial y}+\rho w \frac{\partial \phi }{\partial z}+\phi \left[\frac{\partial \phi}{\partial t}+\frac{\partial (\rho u)}{\partial x}+\frac{\partial (\rho v)}{\partial y}+\frac{\partial(\rho w)}{\partial z}\right]
\]

而根据质量守恒定律，有
\[
\frac{\partial \phi}{\partial t}+\frac{\partial (\rho u)}{\partial x}+\frac{\partial (\rho v)}{\partial y}+\frac{\partial(\rho w)}{\partial z}=0
\]

故可得：

\[
\frac{\partial(\rho \phi)}{\partial t}+\frac{\partial(\rho u \phi)}{\partial x}+\frac{\partial (\rho v \phi )}{\partial y}+\frac{\partial (\rho w \phi)}{\partial z}=\rho \frac{\partial \phi}{\partial t}+\rho u \frac{\partial \phi}{\partial x}+\rho v \frac{\partial \phi}{\partial y}+\rho w \frac{\partial \phi }{\partial z}=\rho \frac{D\phi}{Dt}
\]

因此单位体积内\(\phi\)的变化率可表示为\(\rho \frac{D\phi}{Dt}\)。

3 动量守恒方程

应用牛顿第二定律，作用在流体微团上的合力等于流体质量与加速度的乘积，即
\[
\sum{F_x}=ma_x
\]
式中，\(F_x\)和\(a_x\)分别为\(x\)方向上的分力与加速度。