CSAPP lab1——位运算
本次为一次计算机系统实验,就是使用一些基本的运算符来实现函数功能。
ps做这些题让我想起大一上学期刚学二进制时被鹏哥支配的痛苦。
知识准备:
1.负数等于正数取反加一。
2.左移一位相当于将这个数扩大两倍,右移两位相当于将这个数缩小两倍
3.符号位向右移动后,正数补0,负数补1。
4.负数补码最高位是1,正数补码最高位是0
5. 32位正数取值为
最大:01111111 11111111 11111111 11111111
最小:10000000 00000000 00000000 00000000
min:-2147483648 max:2147483647
1.
/*
* bitXor - 仅允许使用~和&来实现异或
* 例子: bitXor(4, 5) = 1
* 允许的操作符: ~ &
* 最多操作符数目: 14
* 分值: 1
*/
解题思路:简单的异或,a⊕b = (¬a ∧ b) ∨ (a ∧¬b)但要求使用&,所以需要德摩根律
int bitXor(int x,int y)
{
return ~(~(~x&y)&~(x&~y));
}
但这样还不是最简单的,如果使用同或的非来表示异或,a⊕b = ¬((a ∧ b) ∨ (¬a ∧¬b))还能再少用一个字符。
int bitXor(int x, int y)
{
return ~(x&y)&~(~x&~y);//同或的非
}
2.
/*
* tmin - 返回最小的二进制补码
* 允许的操作符: ! ~ & ^ | + << >>
* 最多操作符数目: 4
* 分值: 1
*/
解题思路:最小值为0x8000 0000,我们可以将1左移31位得到最小值。
int tmin(void)
{
return 1<<31;
}
3.
/*
* isTmax - 如果x是最大的二进制补码,返回1;否则,返回0
* 允许的操作符: ! ~ & ^ | +
* 最多操作符数目: 10
* 分值: 2
*/
解题思路:最大的二进制补码为0x7FFFFFFF,为判断输入是否为这一个数,我们只需要将其与最小的二进制补码与或一下判断是否为0即可。
int isTmax(int x)
{
return !(x^~(1<<31));
}
4.
/*
* negate - 返回-x
* 例子: negate(1) = -1.
* 允许的操作符: ! ~ & ^ | + << >>
* 最多操作符数目: 5
* 分值: 2
*/
解题思路:正数取反加一即为负数。
int negate(int x)
{
return (~x+1);
}
5.
/*
* allOddBits - 如果所有奇数位都为1则返回1;否则返回0
* 例子: allOddBits(0xFFFFFFFD) = 0, allOddBits(0xAAAAAAAA) = 1
* 允许的操作符: ! ~ & ^ | + << >>
* 最多操作符数目: 12
* 分值: 2
*/
解题思路::只有所有奇数位为1的数,与0x5555 5555进行&运算才会得到0。5->(0101)。故而需要得到0x5555 5555,将0x55(01010101)分别左移8、16、24得到3个数,然后将这三个数相加即可得到0x5555 5555。
int allOddBits(int x)
{
return !(~(x|(85+(85<<8)+(85<<16)+(85<<24))));
}
6.
/*
* isAsciiDigit - 如果x是ascii码中的0~9,返回1;否则返回0
* 例子: isAsciiDigit(0x35) = 1.
* isAsciiDigit(0x3a) = 0.
* isAsciiDigit(0x05) = 0.
* 允许的操作符: ! ~ & ^ | + << >>
* 最多操作符数目: 15
* 分值: 3
/*
解题思路:若x是数字,则x在‘0’~‘9’之间。可以用x-48>=0和x-58<0(x+~48+1>=0和x+~58+1<0)来计算。
int isAsciiDigit(int x)
{
return !((x+~48+1)>>31)&!!((x+~58+1)>>31);
}
7.
/*
* isLessOrEqual - 如果x<=y返回1否则返回0
* 例子: isLessOrEqual(4,5) = 1.
* 允许的操作符: ! ~ & ^ | + << >>
* 最多操作符数目: 24
* 分值: 3
*/
解题思路:
直接用y-x可能会超出int的表示范围,故而:当x与y同号时,转换为p=y-x>=0,然后p符号位(p>>31)&1为0则返回1,符号位1则返回0;异号时,只要x>=0,就要返回0,否则返回1,由(x>>31)&1能达到该效果。c=a(x>>31)+b(y>>31)可作为x,y同号异号的判断,异号的时候为1和0,相加为1;同号的时候为1和1或者0和0,相加得0或2,取反之后必为非0。
int isLessOrEqual(int x, int y)
{
int a=x>>31;
int b=y>>31;
int c=a+b;
int p=y+(~x+1);///p=y-x
int q=!((p>>31)&1);///若p>=0,则q为1,成立;反之,q为0,不成立。
return (c&(a&1))|((~c)&q);///若为异号,c为1,若a为1,说明x<=y,成立;反之说明x>y不成立。
///若为同号,c为0或者2,取反后为非0,若q为1,相与后必为非0。 }
8.
/*
* conditional - 实现x?y:z
* 例子: conditional(2,4,5) = 4
* 允许的操作符: ! ~ & ^ | + << >>
* 最多操作符数目: 16
* 分值: 3
*/
解题思路:当x不为0时,!x=0,函数结果为y。这时候需要(0xffff ffff)&y|(0x0),来保存y。 当x为0时,!x=1,函数结果为z。这时候需要(0x0)|(0xffff ffff)&z,来保存z。
int conditional(int x, int y, int z)
{
return ((!x+~1+1)&y)|((~!x+1)&z);
}
9.
/*
* absVal - absolute value of x
* Example: absVal(-1) = 1.
* You may assume -TMax <= x <= TMax
* Legal ops: ! ~ & ^ | + << >>
* Max ops: 10
* Rating: 4
*/
解题思路:对整数取绝对值,我们知道int类型的实数,正负数的区别在于最高位是0还是1,正数最高位是0,负数最高位是1。正数右移31位后为0,负数右移31位后为-1(负数右移高位补1)。而负数要变为正数,我们知道需要-1再取反。那么我们就可以利用这两个性质来做题了。
/*
正数右移31位后为0,负数右移31位后为-1(负数右移高位补1)
异或1取反
异或0不变
负数要变为正数需要+1之后取反
*/
int absVal(int x)
{
int t = (x>>31);
return (x+t)^t;
/*正数右移31位后为0,负数右移31位后为-1(负数右移高位补1)*/
}
10.
/*
* bitCount - returns count of number of 1's in word
* Examples: bitCount(5) = 2, bitCount(7) = 3
* Legal ops: ! ~ & ^ | + << >>
* Max ops: 40
* Rating: 4
*/
解题思路:这题应该是这次作业里最难的题了,只用40次操作,并且不能用循环和if,计算x二进制表示中1的个数。首先需要设计5个常数,分别为0x55555555,0x33333333,0x0f0f0f0f,0x00ff00ff,0x0000ffff。
为什么这么设计呢,可以把5个数字的二进制写出来,分别是间隔1个0,2个0,4个0,8个0,16个0
然后下面的计算方法,和间隔对应,分别右移1,2,4,8,16次。如何理解呢,如果只给你一个只有2位的二进制数x,以及01,怎么计算里面1的个数呢,是不是做(x&1)+((x>>1)&1)呢?通过移位,把高位的1,移到低位求和。32位的数字就可以看成是16个2位的,之后就可以等价看作,一个16位的数字,分成8段,做上面第二个计算操作。总的来看这个操作就是把高位的1往低位移动,然后类似分治,分成多段的移动。非常nice的一个题哦。关于这道题的一些理解,32位数字看成16个2位的,两个相邻位置作为一组进行一次计算统计1的个数,然后进行合并;再之后四个相邻位置作为一组进行一次计算统计1的个数;之后八个,十六个,三十二个作为一组。
int bitCount(int x)
{ int mask1 = 0x55;
int mask2 = 0x33;
int mask3 = 0x0f;
int mask4 = 0xff;
int mask5 = 0xff;
mask1 += mask1<<8;
mask1 += mask1<<16;//generate 0x55555555
mask2 += mask2<<8;
mask2 += mask2<<16;//generate 0x33333333
mask3 += mask3<<8;
mask3 += mask3<<16;//generate 0x0f0f0f0f
mask4 += mask4<<16;//generate 0x00ff00ff
mask5 += mask5<<8; //generate 0x0000ffff
x =((x>>1)&mask1) + (x&mask1);
x =((x>>2)&mask2) + (x&mask2);
x =((x>>4)&mask3) + (x&mask3);
x =((x>>8)&mask4) + (x&mask4);
x =((x>>16)&mask5) + (x&mask5);
return x;
}
11.
/*
* byteSwap - swaps the nth byte and the mth byte
* Examples: byteSwap(0x12345678, 1, 3) = 0x56341278
* byteSwap(0xDEADBEEF, 0, 2) = 0xDEEFBEAD
* You may assume that 0 <= n <= 3, 0 <= m <= 3
* Legal ops: ! ~ & ^ | + << >>
* Max ops: 25
* Rating: 2
*/
解题思路:需要我们将字节交换,主要这里交换的是字节而不是位!我们知道int型有4个字节,每个字节有8位,这里我们就以8位为一组组成字节进行整体交换。思路很简单,我们先将需要交换的字节转移到交换后的位置,在这个过程中不可避免的会夹带着其他的字节的变化,先不去管,再获得一个排除需要交换字节的原数(需要交换的字节的位置全是0),最后三者一与便得到交换后的数了。
int byteSwap(int x, int n, int m)
{ int a = n<<3;
int b = m<<3;//乘以8,因为8位一个字节,投射到该字节对应的位上
int step1 = ((x>>a)&0xff)<<b;
int step2 = ((x>>b)&0xff)<<a;
// int step3 = x&~(0xff<<b)&~(0xff<<a);
int step3 = x&(~((0xff<<a)|(0xff<<b)));
return (step1|step2|step3);//将需要交换的字节扣除来,错位交换
}
/*
* oddBits - return word with all odd-numbered bits set to 1
* Legal ops: ! ~ & ^ | + << >>
* Max ops: 8
* Rating: 2
*/
解题思路:得到int型32位上一个奇数位全是1的数,那么就是0xaaaaaaaa(1010),那么最简单的方法就是通过0x55构造就可以了。注意这里的第0位安排不是奇数位,安排到了偶数位上了。
int oddBits(void)
{
int a=0xaa;//1010 1010
a=a|(a<<);
a=a|(a<<);
return a;
// return 0xaaaaaaaa;?
}
12.
/*
* isLess - if x < y then return 1, else return 0
* Example: isLess(4,5) = 1.
* Legal ops: ! ~ & ^ | + << >>
* Max ops: 24
* Rating: 3
*/
解题思路:一开始的思路就是用x-y看看得到的最高位是1还是0,是1则是负数说明x<y,是0则是正数说明x>y,而且得到的最高位恰好是返回值。但是有这么一个问题,可能会出现溢出啊,int类型存不下!我在这里停了好久,也试着用long long 来存数,但是只能使用int类型来进行运算,不能使用其他类型的数,不能进行强制类型的转化。
其实我们可以把那些会造成溢出的数给分离出来,我们知道正数减负数和负数减正数才可能会造成溢出,也就是说只有x和y异号的时候才可能出现溢出。而如果没有溢出的可能,则x-y的最高位便必然是所求的结果。那么就来模拟一个if判断便可以了。这里将flag=x^y作为判断项,如果flag=1说明可能会溢出,那么如果是负数-正数返回1,如果是正数-负数返回0:如果flag=0则不会产生溢出了,就用x-y来判断。
/* 可能会造成溢出的情况:
负数-正数 1
正数-负数 0
(异号)
一定不会造成溢出:
正数-正数
负数-负数
(同号)
x-y
*/
int isLess(int x, int y)
{
int t = x+~y+1;///x-y
int flag = x^y;
return (((flag&x)|(t&~flag))>>31)&1;
}
13.
/*
* satAdd - adds two numbers but when positive overflow occurs, returns
* maximum possible value, and when negative overflow occurs,
* it returns minimum positive value.
* Examples: satAdd(0x40000000,0x40000000) = 0x7fffffff
* satAdd(0x80000000,0xffffffff) = 0x80000000
* Legal ops: ! ~ & ^ | + << >>
* Max ops: 30
* Rating: 4
*/
解题思路:题意要求如果两个数相加,如果产生了正溢出返回0x7fffffff,出现负溢出返回0x80000000,其他情况返回两数之和。
这里我的思路很简单就是使用位运算来模拟一下if判断,有点数据选择器的意思?开始就先构造0x80000000和0x7fffffff这两数数恰好构造出一个另一个取反就可以了。产生溢出只有两种情况正数加正数溢出产生负数,负数加负数溢出产生正数,所以根据这一特点就可以判断是否产生溢出,在根据两数相加得到的数的正负就可以继续判断正溢出和负溢出了。
/*
产生溢出:
1.正数+正数=负数 正溢出 0x7fffffff
2.负数+负数=正数 负溢出 0x80000000
不溢出:
x+y
*/
int satAdd(int x, int y)
{
int ans = x+y;
int over = (x^ans)&(y^ans);
int min_ans = <<;///0x80000000
int max_ans = ~(min_ans);//0x7fffffff
int neg_over = ((over&x)>>)&;
int pos_over = ((over&~x)>>)&;
return ((~pos_over+)&max_ans)+((~neg_over+)&min_ans)+((~(!(neg_over|pos_over))+)&ans);
}
14.
/*
* float_twice - Return bit-level equivalent of expression 2*f for
* floating point argument f.
* Both the argument and result are passed as unsigned int's, but
* they are to be interpreted as the bit-level representation of
* single-precision floating point values.
* When argument is NaN, return argument
* Legal ops: Any integer/unsigned operations incl. ||, &&. also if, while
* Max ops: 30
* Rating: 4
*/
先插入一个怎么把十进制小数转换成二进制的小数的方法---->
解题思路:将一个浮点数扩大两倍。首先如果参数是非数NaN就返回参数本身,那么就先将这一种情况排除掉。对于大多数浮点数阶码不为0,那么阶码加1便可以加倍。对于那些阶码为0的,若是尾数不为0,尾数左移1位便可以实现加倍了;若也尾数为0,那么这个数就是0了,返回原来的0即可。
开始我在这里有一个疑惑,尾数左移一位要是进入了阶码的范围,还对吗?其实这也是正确的,因为若是尾数能够进位,那么阶码加1,整个浮点数值确实是加倍了。
同时这里还要说明一下,尾数是用23位数来表示24位尾数,基数是2,需要规格化尾数形式为+-0.1bb...b,其中第一位“1”不明显表示出来。
举个例子:
-5.625 = C 0 B 4 0 0 0 0
C 0 B 4 0 0 0 0 1100 0000 1011 0100 0000 0000 0000 0000 按照浮点数格式切割成相应的域 1 1000 0001 01101 000000000000000000 经分析:符号域1 意味着负数;指数域为129 意味着实际的指数为2 (减去偏差值127); 尾数域为01101 意味着实际的二进制尾数为1.01101 (加上隐含的小数点前面的1)。
所以,实际的实数为:
= -1.01101 × 2^2
=- ( 1*2^0 + 1*2^(-2) + 1*2^(-3) + 1*2^(-5) ) × 2^2
= -(1+0.25+0.125+0.03125)*4
= -1.40625*4
= -5.625
unsigned float_twice(unsigned uf)
{
unsigned S = uf&0x80000000;///获得第0位的符号位
unsigned Exp = uf&0x7f800000;///获得第1~8位的阶码
unsigned M = uf&0x007fffff;///获得第9~31的尾数
unsigned T = uf&0x7fffffff;
unsigned ans = uf;
if(T >= 0x7f800000)///如果是NaN的情况
{
return uf;
}
if(Exp!=)///阶码不为0,那想要翻倍就只需要阶码加1即可。
{
ans = uf + 0x00800000;
// return S+Exp+0x00800000+M;
}
else///阶码为0,那就得通过变换尾数来加倍
{
if(M!=)///尾数左移一位加倍
{
ans = (uf<<) + S;
// return S+E +(M<<1);
}
}
return ans;
}
/*
float中
第0位为符号位
第1~8位为阶码
第9~31位为24位二进制原码小数表示的尾数
举个例子:
(65878)10进制
= (1 0000 0001 0000 0110)2进制
= (0.1000 0000 1000 0011 0)2进制*2^17
符号S =0
阶码E =(128+17)10进制
= (145)10进制
= (1001 0001)二进制
所以浮点型表示为
0 1001 0001 000 0000 1000 0011 0000 0000
*/
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