Loj#2769-「ROI 2017 Day 1」前往大都会【最短路树,斜率优化】

正题

题目链接:https://loj.ac/p/2769

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题目大意

给出\(n\)个点\(m\)条地铁线路，每条线路是一条路径。

求\(1\)到\(n\)的最短路且在最短路径的情况下相邻换乘点的距离平方和最大。

\(1\leq n,m,\sum s_i\leq 10^6\)

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解题思路

首先肯定是在最短路树上跑，然后考虑怎么求平方和最大。

因为每条可以计算和的路径一定是连续的一段，所以考虑将一条铁路线去掉不在最短路树上的边后分出若干段来。

对于每一段上的转移都是一个\(f_{x}=max\{f_y+(d_x-d_y)^2\}\)的形式，可以斜率优化。

但是为了充分转移，需要按照\(dis\)从小到大转移。

栈啊什么的开\(vector\)就好了。

时间复杂度\(O(n\log n)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
#include<cctype>
#define mp(x,y) make_pair(x,y)
#define sec second
#define fir first
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e6+10;
struct node{
	ll to,next,w;
}a[N];
ll n,m,T,tot,ls[N],dis[N],f[N],top[N],p[N],las[N];
vector<pair<ll,ll> >e[N],E[N],pos[N];
priority_queue<pair<ll,ll> >q;
vector<ll> _x[N],_y[N],s[N];bool v[N];
ll read(){
	ll x=0,f=1;char c=getchar();
	while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-f;c=getchar();}
	while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+c-48;c=getchar();}
	return x*f;
}
void addl(ll x,ll y,ll w){
	a[++tot].to=y;
	a[tot].next=ls[x];
	ls[x]=tot;a[tot].w=w;
	return;
}
void dij(){
	memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
	q.push(mp(0,1));dis[1]=0;
	while(!q.empty()){
		ll x=q.top().sec;q.pop();
		if(v[x])continue;v[x]=1;
		for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){
			ll y=a[i].to;
			if(dis[x]+a[i].w<dis[y]){
				dis[y]=dis[x]+a[i].w;
				q.push(mp(-dis[y],y));
			}
		}
	}
	return;
}
bool cmp(ll x,ll y)
{return dis[x]<dis[y];}
double slope(ll x,ll y,ll p)
{return (double)(_y[p][y]-_y[p][x])/(_x[p][y]-_x[p][x]);}
void calc(ll x,ll p,ll t,vector<ll> &s,ll &top){
	//x点 p线 t站
	if(!t)return;
	ll dx=e[p][t].sec;
	while(top>1&&slope(s[top-1],s[top],p)<=2*dx)top--;
	if(top){
		ll y=s[top];
		f[x]=max(f[x],_y[p][y]-2*dx*_x[p][y]+dx*dx);
	}
}
void add(ll x,ll p,ll t,vector<ll> &s,ll &top){
	//x点 p线 t站
	if(t>=e[p].size()-1)return;
	ll dx=e[p][t].sec;
	_y[p][t]=f[x]+dx*dx;_x[p][t]=dx;
	while(top>1&&slope(s[top-1],t,p)>=slope(s[top-1],s[top],p))top--;
	s[++top]=t;las[p]=t;return;
}
signed main()
{
//	freopen("city.in","r",stdin);
//	freopen("city.out","w",stdout);
	n=read();m=read();
	for(ll i=1;i<=m;i++){
		ll num,x,t=0;num=read()+1;
		while(num--){
			if(E[i].size())t=read();x=read();
			if(E[i].size()){
				pair<ll,ll> z=E[i][E[i].size()-1];
				addl(z.fir,x,t);
			}//建边
			E[i].push_back(mp(x,t));
		}
	}
	dij();
	for(int i=1;i<=m;i++){
		for(int j=0;j<E[i].size();j++){
			int x=E[i][j].first,t=E[i][j].sec,flag=1;
			if((!j)||dis[E[i][j-1].fir]+E[i][j].sec!=dis[E[i][j].fir]){
				if(T&&e[T].size()==1){
					pos[e[T][0].first].pop_back();
					e[T][0].first=x;
					flag=0;
				}
				else T++,e[T].push_back(mp(x,0));
			}
			else e[T].push_back(mp(x,t));
			if(flag)s[T].push_back(0),_x[T].push_back(0),_y[T].push_back(0);
			pos[x].push_back(mp(T,e[T].size()-1));
			//e:线路(点/和前面的长度)
			//pos:点(线路,对应位置)
			//s,_x,_y:dp用数组
		}
	}
	for(ll i=1;i<=T;i++)
		for(ll j=1;j<e[i].size();j++)
			e[i][j].sec+=e[i][j-1].sec;
	for(ll i=1;i<=n;i++)p[i]=i;
	sort(p+1,p+1+n,cmp);
	for(ll _i=1;_i<=n;_i++){
		ll x=p[_i];
		for(ll _j=0;_j<pos[x].size();_j++)
			calc(x,pos[x][_j].fir,pos[x][_j].sec,s[pos[x][_j].fir],top[pos[x][_j].fir]);
		for(ll _j=0;_j<pos[x].size();_j++)
			add(x,pos[x][_j].fir,pos[x][_j].sec,s[pos[x][_j].fir],top[pos[x][_j].fir]);
		if(x==n)break;
	}
	printf("%lld %lld\n",dis[n],f[n]);
	return 0;
}