MT【278】二次齐次化

对于$c>0$,当非零实数$a,b$满足$4a^2-2ab+4b^2-c=0,$且使$|2a+b|$最大时,$\dfrac{3}{a}-\dfrac{4}{b}+\dfrac{5}{c}$的最小值为_____

分析:此类题要知道方法是很简单的,重在平时积累,此题是2014年的高考填空压轴题，和2008年华约自招三一题类似.
构造$(2a+b)^2-k(4a^2-2ab+4b^2)=0$,令$\dfrac{a}{b}=t$, 得
$(4-4k)t^2+(4+2k)t+1-4k=0$令$\Delta =0$得$k=0$或$k=\dfrac{8}{5}$,
易知$k=\dfrac{8}{5}$时$(2a+b)^2$有最大值$\dfrac{8}{5}c$,
容易知道取到最大值时$a=\dfrac{3}{2}b,c=10b^2$故$\dfrac{3}{a}-\dfrac{4}{b}+\dfrac{5}{c}=\dfrac{1}{2b^2}-\dfrac{2}{b}\ge-2$