HDU 1465 不容易系列之一 (错排公式+容斥)
Problem Description
大家常常感慨,要做好一件事情真的不容易,确实,失败比成功容易多了!
做好“一件”事情尚且不易,若想永远成功而总从不失败,那更是难上加难了,就像花钱总是比挣钱容易的道理一样。
话虽这样说,我还是要告诉大家,要想失败到一定程度也是不容易的。比如,我高中的时候,就有一个神奇的女生,在英语考试的时候,竟然把40个单项选择题全部做错了!大家都学过概率论,应该知道出现这种情况的概率,所以至今我都觉得这是一件神奇的事情。如果套用一句经典的评语,我们可以这样总结:一个人做错一道选择题并不难,难的是全部做错,一个不对。
不幸的是,这种小概率事件又发生了,而且就在我们身边:
事情是这样的——HDU有个网名叫做8006的男性同学,结交网友无数,最近该同学玩起了浪漫,同时给n个网友每人写了一封信,这都没什么,要命的是,他竟然把所有的信都装错了信封!注意了,是全部装错哟!
现在的问题是:请大家帮可怜的8006同学计算一下,一共有多少种可能的错误方式呢?
Input
输入数据包含多个多个测试实例,每个测试实例占用一行,每行包含一个正整数n(1<n<=20),n表示8006的网友的人数。
Output
对于每行输入请输出可能的错误方式的数量,每个实例的输出占用一行。
Sample Input
2
3
Sample Output
1
2
分析:解法一
首先说一下我自己做这道题时的一个方法吧
对于把n个物品放到n个位置,肯定有n!种放法,这个数学上都有学过,就不进行解释了。
定义:a[i],表示的是i个物品全部放错有多少种方法。
num[i][j],表示从i个物品中取出j个有多少种取法,这个可以利用公式来递推的,num[i][j]=num[i-1][j]+num[i][j-1];
我们再求a[n]的时候的思路呢就是这样的,知道一共有n!中放法,把其减去有1,2,···,n个放对的,剩余的就全是放错的。
有1个放对,也就意味着其余的n-1个都是放错的,我们可以利用之前求出的a[n-1],还有一点就是确定这一个放对的是哪个就是num[n][1];
有2个放对,也就意味着其余的n-2个都是放错的,我们可以利用之前求出的a[n-2],还有一点就是确定这两个放对的是哪个就是num[n][2];
·
·
·
有n各放对,肯定有且仅有一种放法;
代码实现:
#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
using namespace std;
long long int a[25];
long long int num[25][25];
void solve()
{
memset(num,1,sizeof(num));
a[1]=0;
a[2]=1;
a[3]=2;
num[3][0]=1,num[3][1]=3,num[3][2]=3,num[3][3]=1;
long long int sum=6;
for(int i=4; i<=20; i++)
{
sum*=i;///当前的阶乘
a[i]=sum;
for(int j=1; j<i; j++)///减去1~i-1个全部放错,就是说i-1~1个放对的,(这里i也可以从2开始,因为a[1]=0,不过这样好理解)
{
num[i][j]=num[i-1][j]+num[i-1][j-1];
a[i]=a[i]-a[j]*num[i][j];
}
a[i]-=1;///减去i个全部放对的
num[i][1]=i;
num[i][i]=1;
}
}
int main()
{
int n;
solve();
while(~scanf("%d",&n))
{
printf("%lld\n",a[n]);
}
return 0;
}
解法二:
1、当N=1和2时,易得解~,假设F(N-1)和F(N-2)已经得到,重点分析下面的情况:
2、当有N封信的时候,前面N-1封信可以有N-1或者 N-2封错装
3、前者,对于每一种错装,可以从N-1封信中任意取一封和第 N封错装,故=F(N-1) * (N-1)
4、后者简单,只能是没装错的那封信和第N封信交换信封,没装错的那封信可以是前面N-1封信中的任意一个,故= F(N-2) * (N-1)
得到如下递推公式:
基本形式:d[1]=0; d[2]=1 递归式:d[n]= (n-1)*( d[n-1] + d[n-2])
这就是著名的错排公式!
代码:
#include<iostream>
#include<stdio.h>
using namespace std;
int main()
{
long long int arr[21];
int num,i;
arr[1]=0;arr[2]=1;
for(i=3;i<21;i++)
arr[i]=(i-1)*(arr[i-1]+arr[i-2]);
while(scanf("%d",&num)!=EOF)
{
cout<<arr[num]<<endl;
}
}
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