卡特兰数 Catalan 笔记

一.公式

卡特兰数一般公式

　　令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式。h(n) = h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)。也就是说，如果能把公式化成上面这种形式的数，就是卡特兰数。

组合公式

　　Cn = C(2n,n) / (n+1)

　　(化简前 h(n) = c(2n,n)-c(2n,n+1) (n=0,1,2,...) 证明)

递归公式1

　　h(n) = h(n-1)*(4*n-2) / (n+1)

递归公式2

　　h(n) = ∑(i=0 to n-1) h(i)*h(n-i-1)

二.资料

　　catalan---卡特兰数(小结)

三.某些题

1.在圆上选择2n个等间隔的点。证明将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数等于第n个Catalan数

设方法数为g_n，分别将这些点用1，2，…，2n标记。取定点1，任选另一个偶数点2k，连接点1与点2k。该线段将圆分成K₁和K₂两部分。对K₁，有k-1对点，故有g_k-1种方法；对K₂，有n-k对点，故有g_n-k种方法。所以
   g₀=1
   令h_n=g_n-1，则
   h_n+1=h₁h_n+h₂h_n-1+…+h_nh₁  h₁=1

所以gn=g0 gn-1 + g1 gn-1 +...+ gn-1 g0

即 g_n=C_n

2.二叉树计数：一个有n个结点的二叉树总共有多少种形态

 //设当前根节点为k，方案数为h[k]，左子树有k-1个节点，右子树有n-k个节点
 //则 h[k]=h[k-1]*h[n-k](k=1 to n)
 //Ans= h[0]h[n-1] + h[1]h[n-2] +...+ h[n-1][0]
 //即卡特兰数
 #include<cstdio>
 #include<cctype>
 using namespace std;
 const int N=;
 
 int n;
 long long H[N];
 
 int read()
 {
     int now=;bool f=;char c=getchar();
     for(;!isdigit(c);c=getchar())
       if(c=='-') f=;
     for(;isdigit(c);c=getchar())
       now=(now<<)+(now<<)+c-'';
     return f?-now:now;
 }
 
 int main()
 {
     n=read();
     H[]=;
     for(int i=;i<=n;++i)
       H[i]=H[i-]*(*i-)/(i+);
     printf("%lld",H[n]);
     return ;
 }

3.出栈次序：一个栈（无穷大）的进栈次序为1、2、3……n。不同的出栈次序有几种。

　　我们可以这样想，假设k是最后一个出栈的数。比k早进栈且早出栈的有k-1个数，一共有h(k-1)种方案。比k晚进栈且早出栈的有n-k个数，一共有h(n-k)种方案。所以一共有h(k-1)*h(n-k)种方案。显而易见，k取不同值时，产生的出栈序列是相互独立的，所以结果可以累加。k的取值范围为1至n，所以结果就为h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0)。(转自Blog)

 //设k为最后一个出栈的数，
 //有k-1个比k早进栈且比k早出栈，有C[k-1]种方案
 //有n-k个比k晚进栈但比k早出栈，有C[n-k]种方案
 //根据乘法原理，C[k]=C[k-1]*C[n-k](k=1 to n)
 //Ans = C[0]C[n-1] + C[1][n-2] +...+ C[n-1][0]
 #include<cstdio>
 using namespace std;
 const int N=;
 
 int n;
 long long Ca[N];
 
 int main()
 {
     scanf("%d",&n);
     Ca[]=;
     for(int i=;i<=n;++i)
       Ca[i]=Ca[i-]*(*i-)/(i+);
     printf("%lld",Ca[n]);
     return ;
 }

注：

　　long long最大只能到33

Code：

 Ca[]=;
 for(int i=;i<=n;++i)
     Ca[i]=Ca[i-]*(*i-)/(i+);

Catalan

高精：

 #include<cstdio>
 #include<cctype>
 #include<cstring>
 using namespace std;
 const int p=,mod=;
 
 int C[];
 
 inline int read()
 {
     int now=;bool f=;char c=getchar();
     for(;!isdigit(c);c=getchar())
       if(c=='-') f=;
     for(;isdigit(c);c=getchar())
       now=(now<<)+(now<<)+c-'';
     return f?-now:now;
 }
 
 void Print(int n[])
 {
     printf("%d",n[n[]]);
     for(int i=n[]-;i;--i)
       printf("%0*d",p,n[i]);
     puts("");
 }
 void Mult(int n[],int t)
 {
     int x=;
     ++n[];
     for(int i=;i<=n[];++i)
     {
         n[i]=n[i]*t+x;
 //        printf("%d:%d\n",i,n[i]);
         x=n[i]/mod;
         n[i]%=mod;
     }
     while(!n[n[]] && n[]>) --n[];
 //    Print(n);
 }
 void Div(int n[],int t)
 {
     int x=;
     for(int i=n[];i;--i)
     {
         n[i]=x*mod+n[i];
         x=n[i]%t;
         n[i]/=t;
     }
     while(!n[n[]] && n[]>) --n[];
 //    Print(n);
 }
 
 int main()
 {
     int n=read();
     C[]=;
     C[]=;
     for(int i=;i<=n;++i)
     {
 //        C[now]=C[now-1]*(4*i-2)/(i+1);
 //        printf("\n%d:\n",i);
         Mult(C,*i-);
         Div(C,i+);
 //        Print(C);
     }
     Print(C);
     return ;
 }

CODEVS.3113.二叉树计数2