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problem1 link

对于每个还未切掉的‘X’用cutter作用一次。从左上角到右下角，依次判断即可。

problem2 link

首先，如果一个顶点不能从0到达或者不能到达节点$n-1$，那么可以直接将这个顶点从图中删掉。所以，可以认为每个顶点都可以从节点0到达且可以到达节点$n-1$.

按照如下策略进行路径选择：

（1）设初始时已访问节点集合$S$只包含节点0；

（2）对于$[1,n-2]$中的每个节点，找到一个节点$t$，满足在$S$中存在一个节点$r$,使得$r$->$t$有一条直接的边，然后将$t$加入到$S$中，并且将边$e(r,t)$加入到已使用边集合$E$；最后$S$中包含$[0,n-2]$共$n-1$个节点,$E$中包含$n-2$个边

（3）对于任意一条当前不在$E$中的边，$e(x,y)$，如果满足$x\in S$且$y$可到达$n-1$，那么就找到了一条路径。然后将$e(x,y)$加入到集合$E$中。这条路径使用了一条之前从未使用的边$e(x,y)$，所以是一条新的路径。（第一条这样的路径一定满足$y=n-1$）

按照上面的策略，假设图一共有$m$条边，那么答案有$m-(n-2)$

problem3 link

首先有一个结论：$moves=\frac{1}{2}\sum_{i=0}^{n-1}|T_{i}-S_{i}|$

那么问题可转化为有多少$T$的全排列$T^{'}$满足$\sum_{i=0}^{n-1}|T_{i}-T^{'}_{i}|=moves*2$

将$T$和$T^{'}$看做两行长度为$n$的元素。现在从左向右依次确认$T$的每个元素应该放在$T^{'}$的什么位置。对于第$i$个位置，需要考虑下面两件事情：

（1）$T_{i}$应该放在$T^{'}$的什么位置

（2）$T^{'}_{i}$应该放置$T$的哪一个元素

对于第一个问题，假设$T_{i}$放在了$T^{'}$的$[0,i-1]$的某个位置$x$，那么对移动次数的计算贡献为$T_{i}-T_{x}$。因此，可以将其简记为$+T_{i}$，而如果$T_{i}$被放置在$T^{'}$的$[i+1,n-1]$的位置,那么对移动次数的贡献为$-T_{i}$

这样的话，动态规划的方程可表示为$f[i][j][k]$表示考虑完$T$和$T^{'}$的前$i$个位置，$T$的$[0,i]$中的$j$个数字要放置到$T^{'}$的$[i+1,n-1]$位置，那么同时也意味着需要从$T$的$[i+1,n-1]$位置中选出$j$个放置到$T^{'}$的$[0,i]$位置，且移动次数为$k$的排列种数

设$X=f[i][j][k]$，那么对于第$i+1$个位置，有以下五种转移：

（1）$T_{i+1}$放置在$T^{'}_{i+1}$，$f[i+1][j][k]=X$

（2）$T_{i+1}$放置在$T^{'}$的$[0,i]$（有$j$种选择），且$T^{'}_{i+1}$用$T$的$[0,i]$中的一个(同样有$j$种选择)，那么$f[i+1][j-1][k+2T_{i}]=j*j*X$

（3）$T_{i+1}$放置在$T^{'}$的$[0,i]$（有$j$种选择），且$T^{'}_{i+1}$用$T$的$[i+2,n-1]$中的一个，那么$f[i+1][j][k]=j*X$

（4）$T_{i+1}$放置在$T^{'}$的$[i+2,n-1]$（有$j$种选择），且$T^{'}_{i+1}$用$T$的$[0,i]$中的一个，那么$f[i+1][j][k]=j*X$

（5）$T_{i+1}$放置在$T^{'}$的$[i+2,n-1]$（有$j$种选择），且$T^{'}_{i+1}$用$T$的$[i+2,n-1]$中的一个，那么$f[i+1][j+1][k-2T_{i}]=X$

code for problem1

#include <string>
#include <vector>
using namespace std;

class GogoXCake {
   public:
    string solve(vector<string> cake, vector<string> cutter) {
        const int cake_height = (int)cake.size();
        const int cake_width = (int)cake[0].size();
        const int cutter_height = (int)cutter.size();
        const int cutter_width = (int)cutter[0].size();
        std::vector<std::vector<int>> a(cake_height,
                                        std::vector<int>(cake_width, 1));
        const int first_row_used_cell_column = (int)cutter[0].find_first_of('.');
        for (int i = 0; i < cake_height; ++ i) {
            for (int j = 0; j < cake_width; ++ j) {
                if (cake[i][j] == 'X') {
                    if (a[i][j] == 0) {
                        return "NO";
                    }
                }
                else {
                    if (a[i][j] == 1) {
                        const int x = i;
                        const int y = j - first_row_used_cell_column;
                        if (y < 0 || y + cutter_width > cake_width || x + cutter_height > cake_height) {
                            return "NO";
                        }
                        for (int xx = x; xx < x + cutter_height; ++ xx) {
                            for (int yy = y; yy < y + cutter_width; ++ yy) {
                                if (cutter[xx -x][yy - y] == '.') {
                                    if (a[xx][yy] != 1) {
                                        return "NO";
                                    }
                                    a[xx][yy] = 0;
                                }
                            }
                        }
                    }
                }
            }
        }
        return "YES";
    }
};

code for problem2

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
using namespace std;

class GogoXMarisaKirisima {
   public:
    int solve(vector<string> choices) {
        const int n = (int)choices.size();
        vector<vector<int>> g(n, vector<int>(n, 0));
        for (int i = 0; i < n; ++ i) {
            for (int j = 0; j < n; ++ j) {
                g[i][j] = (choices[i][j] == 'Y' ? 1 : 0);
            }
        }
        for (int i = 0; i < n; ++ i) {
            g[i][i] = 1;
        }
        for (int i = 0; i < n; ++ i) {
            for (int j = 0; j < n; ++ j) {
                for (int k = 0; k < n; ++ k) {
                    if (g[j][i] != 0 && g[i][k] != 0) {
                        g[j][k] = 1;
                    }
                }
            }
        }
        if (g[0][n - 1] == 0) {
            return 0;
        }
        long long mask = 0;
        int valid = 0;
        for (int i = 0; i < n; ++ i) {
            if (g[0][i] != 0 && g[i][n - 1] != 0) {
                mask |= 1ll << i;
                ++ valid;
            }
        }
        int m = 0;
        for (int i = 0; i < n; ++ i) {
            if ((mask & (1ll << i)) == 0) {
                continue;
            }
            for (int j = 0; j < n; ++ j) {
                if (choices[i][j] == 'Y' && (mask & (1ll << j)) != 0) {
                    ++ m;
                }
            }
        }
        return m - (valid - 2);
    }
};

code for problem3

#include <vector>
#include <iostream>
using namespace std;

#define mod 1000000009

class GogoXBallsAndBins {
   public:
    int solve(vector<int> T, int moves) {
        const int n = (int)T.size();
        int sum = 0;
        for (auto x : T) {
            sum += x;
        }
        const int total = sum * 4 + 1;
        vector<vector<vector<int>>> f(
            n, vector<vector<int>>(n + 1, vector<int>(total, 0)));
        f[0][0][sum * 2] = 1;
        f[0][1][-T[0] * 2 + sum * 2] = 1;
        for (int i = 1; i < n; ++ i) {
            for (int j = 0; j <= i; ++ j) {
                for (int k = 0; k < total; ++ k) {
                    const int t = f[i- 1][j][k];
                    if (t == 0) {
                        continue;
                    }
                    Add(f[i][j][k], t);
                    if (j > 0) {
                        Add(f[i][j - 1][k + T[i] * 2], (long long)j * j * t % mod);
                        Add(f[i][j][k], (long)j * t * 2 % mod);
                    }
                    Add(f[i][j + 1][k - T[i] * 2], t);
                }
            }
        }
        if (moves * 2 + sum * 2 >= total) {
            return 0;
        }
        return f[n - 1][0][moves * 2 + sum * 2];
    }
   private:
    void Add(int&x, int y) {
        x += y;
        if (x >= mod) {
            x -= mod;
        }
    }
};