$NOI2014$ 购票（斜率优化 点分治）

\(NOI2014\)购票

哇终于可以碰电脑了赶快切些火题找找感觉。

拿到这道题的时候发现简单的斜率优化推一推可以秒掉平方做法，然后一条链也可以做。

然后呢。。。

卧槽这个在一棵树上怎么办啊。

大力\(YY\)了一个数据结构维护区间凸壳的东西，然而我感觉这东西好恶心啊我不会啊。。。

明明就是因为懒

然后翻了一波题解发现可以用点分治，然而都讲得非常不清楚。。。。

看了好久才看懂怎么做吧。。。我这里详细地记录一下。。

详细是不存在的这辈子的不存在的

总体思想是，每次点分治的时候有两个关键点，一个是分治重心，一个是当前子树的根节点。

每次先将含有当前子树根节点的那个分治子树加上分治重心作为一个全新的子树先递归处理

然后把分治中心到当前根节点的路径上的点抠出来，用这些点来更新其他不包含根节点的分治子树。

这个更新是可以统一处理的，具体操作就是把所有点抠出来按照可到达的最浅点从深到浅排个序

也就是斜率计算中的\(x\)

然后从分治重心一步步向上跳父亲加入单调栈，得到用于更新答案的单调栈

因为斜率不单调所以我们要在单调栈上二分

然后再继续递归不包含根节点的分治子树就完成啦。

这样做相当于从浅到深依次分治，依次把\(DP\)值确定好了。

方便理解的话注意一下这棵树是不需要建反边的。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<queue>
#include<map>
#include<vector>

using namespace std;

#define N 201000
#define EPS 1e-7
#define ll long long
#define RG register
#define inf 1e18+1

inline ll read(){
    RG ll x=0,o=1; RG char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();
    if(ch=='-') o=-1,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9') x=((x<<3)+(x<<1))+ch-'0',ch=getchar();
    return x*o;
}

int n,first[N],top,siz[N],vis[N],tmp[N],tot,Max,Sz,Rt,fa[N],Q[N],cnt;
ll dis[N],lim[N],p[N],q[N],f[N];
struct mona { int nxt,en; } s[N<<1];
inline void Insert(int x,int y) { s[++top]=(mona) { first[x],y },first[x]=top; }
inline void Getroot(int k){
	siz[k]=1; int Maxn=0;
	for(RG int i=first[k];i;i=s[i].nxt){
		int en=s[i].en; if(vis[en]) continue ;
		Getroot(en),Maxn=max(Maxn,siz[en]),siz[k]+=siz[en];
	}   Maxn=max(Maxn,Sz-siz[k]); if(Max>=Maxn) Max=Maxn,Rt=k;
}
inline void Getdis(int k){
	tmp[++tot]=k;
	for(RG int i=first[k];i;i=s[i].nxt)
		if(!vis[s[i].en]) Getdis(s[i].en);
}

inline bool cmp(const int &x,const int &y) { return dis[x]-lim[x]>dis[y]-lim[y]; }
inline double Slope(const int &i,const int &j){
	if(dis[i]==dis[j]) return f[i]<f[j]?inf:-inf;
	return (1.0*f[i]-f[j])/(1.0*dis[i]-dis[j]);
}
inline void Add(int i){
	while(cnt>1&&Slope(Q[cnt],Q[cnt-1])<=Slope(i,Q[cnt-1])) --cnt;
	Q[++cnt]=i;
}
inline int Binary(int cst){
	int l=2,r=cnt,ans=1;
	while(l<=r){
		int mid=l+r>>1;
		if(Slope(Q[mid],Q[mid-1])>=cst) ans=mid,l=mid+1;
		else r=mid-1;
	}   return Q[ans];
}

inline void Divide(int k,int Siz){
	if(Siz==1) return ; Sz=Siz,Max=1e9,Getroot(k); int Cr=Rt;
	for(RG int i=first[Cr];i;i=s[i].nxt) vis[s[i].en]=1;
	Divide(k,Siz-siz[Cr]+1),tot=0;
	for(RG int i=first[Cr];i;i=s[i].nxt) Getdis(s[i].en);
	sort(tmp+1,tmp+1+tot,cmp); int now=Cr; cnt=0,Add(Cr);
	for(RG int i=1;i<=tot;++i){ int t=tmp[i];
		if(dis[now]<dis[t]-lim[t]) continue ;
		while(now!=k&&dis[fa[now]]>=dis[t]-lim[t])
			now=fa[now],Add(now);
		int Bes=Binary(p[t]);
		f[t]=min(f[t],f[Bes]+(dis[t]-dis[Bes])*p[t]+q[t]);
	}   for(RG int i=first[Cr];i;i=s[i].nxt) Divide(s[i].en,siz[s[i].en]);
}

inline void Dfs(int k){
	for(RG int i=first[k];i;i=s[i].nxt)
		dis[s[i].en]+=dis[k],Dfs(s[i].en);
}
int main(){
	n=read(),read();
	for(RG int i=2;i<=n;++i)
		fa[i]=read(),dis[i]=read(),Insert(fa[i],i),
			p[i]=read(),q[i]=read(),lim[i]=read(),f[i]=inf;
	Dfs(1),Sz=n,Divide(1,n);
	for(RG int i=2;i<=n;++i) printf("%lld\n",f[i]);
}