Basic Thought / Data Structure: 差分 Difference

Intro:

作为查询界的 \(O(1)\) 王者——前缀和的亲兄弟，差分，他可是修改界的 \(O(1)\) 王者

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Prerequisite knowledge:

前缀和

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Function: 仅单次询问的区间修改

模板题：洛谷P2367 语文成绩

先想一想朴素算法怎么做吧

对于输入的每一组 \((x,y)\) ，遍历序列 \(a_{x..y}\) ，每一项加上 \(z\) ，代码如下

while(p--)for(int i(x);i<=y;++i)a[i]+=z;

Time complexity: \(O(np)\)

Memory complexity: \(O(n)\)

这个时间复杂度明显不行，只要修改长度大了，修改时间就会变长

发现 查询只有一次

也就是说如果可以把数组变一下，使得修改 \(O(1)\) ，而查询 \(O(n)\) ，就可以接受了

我们构造一个数组 \(d_{1..n}\) ，其中

\(d_i=a_i-a_{i-1}, 1\leqslant i\leqslant n\)

也就是说 \(d\) 的每一项都是原来 \(a\) 的同位项与 \(a\) 的前一项的差

反过来看的话，\(a_i=a_{i-1}+d_i\)（是不是有点眼熟呢）

没错！ \(a_i=\sum_{j=1}^id_j\) ，是前缀和！

考虑一下对 \(d_i\) 加上 \(v\) 对 \(a\) 会有什么效果

对于 \(a_{1..i-1}\) ，没效果

对于 \(a_{i..n}\) ，每一个值都加上了 \(v\) （认真思考下为什么）

所以对于每一次区间修改 \((l,r,v)\) （表示对 \(a_{l..r}\) 每一个元素加上 \(v\) ），对 \(d\) 来说，只不过是把 \(d_l\) 加上 \(v\) ， \(d_{r+1}\) 减去 \(v\) 而已

这就是\(d_{1..n}\)，差分数组

最后如果想要把\(d\)数组变回\(a\)数组，只要对\(d\)构造前缀和数组即可（这就是为什么我说差分是前缀和的逆运算了）

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Code:

构造 \(d_{1..n}\) ：

for(int i(n);i>=1;--i)d[i]=a[i]-a[i-1];

P.s: 其实顺序没有关系，但是如果原址构造必须倒序

修改

d[l]+=v,d[r+1]-=v;

更新原数组

for(int i(1);i<=n;++i)a[i]=a[i-1]+d[i]

Time complexity: \(O(n)\) 预处理 \(O(1)\) 修改 \(O(n)\) 查询（以后这三项简称为 \(O(n)-O(1)-O(n)\)）

Memory complexity: \(O(n)\)

P.s 同样的，可以直接将原数组变成差分数组，则不需要额外空间，代码如下（必须倒序）

for(int i(n);i>=2;--i)a[i]-=a[i-1];

于是本题的答案就出来啦，具体见代码（记得开long long）

//This program is written by Brian Peng.
#pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
#pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define Rd(a) (a=read())
#define Gc(a) (a=getchar())
#define Pc(a) putchar(a)
inline int read(){
	register int x;register char c(getchar());register bool k;
	while(!isdigit(c)&&c^'-')if(Gc(c)==EOF)exit(0);
	if(c^'-')k=1,x=c&15;else k=x=0;
	while(isdigit(Gc(c)))x=(x<<1)+(x<<3)+(c&15);
	return k?x:-x;
}
void wr(register int a){
	if(a<0)Pc('-'),a=-a;
	if(a<=9)Pc(a|'0');
	else wr(a/10),Pc((a%10)|'0');
}
signed const INF(0x3f3f3f3f),NINF(0xc3c3c3c3);
long long const LINF(0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL),LNINF(0xc3c3c3c3c3c3c3c3LL);
#define Ps Pc(' ')
#define Pe Pc('\n')
#define Frn0(i,a,b) for(register int i(a);i<(b);++i)
#define Frn1(i,a,b) for(register int i(a);i<=(b);++i)
#define Frn_(i,a,b) for(register int i(a);i>=(b);--i)
#define Mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define File(a) freopen(a".in","r",stdin),freopen(a".out","w",stdout)
#define N (5000010)
int n,p,a[N],x,y,z,ans(LINF);
signed main(){
	Rd(n),Rd(p);
	Frn1(i,1,n)Rd(a[i]);
	Frn_(i,n,1)a[i]-=a[i-1];
	while(p--)Rd(x),Rd(y),a[x]+=Rd(z),a[y+1]-=z;
	Frn1(i,1,n)ans=min(ans,a[i]+=a[i-1]);
	wr(ans),exit(0);
}

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Example:

洛谷P3717 [AHOI2017初中组]cover

（这不是暴力就可以了吗）

当然正解就是暴力，所以假设 \(n,m,r\leqslant 1000\) ，再看看这道题

这道题就是典型的区间修改（将可以覆盖的地方 \(+1\) ）与单次查询（最后问 \(>0\) 的有几个）

于是以行为单位差分，每一次修改相当于对每一行的元素做区间修改

但是每一行被修改的位置和长度互不相同，具体取决于半径 \(r\) 和行号 \(i\) 到圆心所在行号 \(y\) 的距离 \(|i-y|\)

假设存在 \(e_{0..r}\) 数组， \(e_i\) 表示斜边为 \(r\) ，对边为 \(i\) 的直角三角形的邻边长度的整数部分，即 \(e_i=\lfloor\sqrt{r^2-i^2}\rfloor\)

那么对于第 \(i\) 行，如果圆心是 \((x,y)\) ，半径为 \(r\) ，覆盖的区间就是 \([max(1,x-e_{|i-y|}),min(n,x+e_{|i-y|})]\) （可别忘了处理边界）

最后是如何计算 \(e\) 数组

（当然可以直接使用sqrt()）

但是注意到\(e\)数组具有不上升单调性，可以使用一种类似递推的方法做，保证计算\(O(n)\)（虽然说其实完全没有必要啦）

具体做法就请大家自己想啦 （其实是本蒟蒻太懒了） ，上代码

//This program is written by Brian Peng.
#pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
#pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define Rd(a) (a=read())
#define Gc(a) (a=getchar())
#define Pc(a) putchar(a)
inline int read(){
	register int x;register char c(getchar());register bool k;
	while(!isdigit(c)&&c^'-')if(Gc(c)==EOF)exit(0);
	if(c^'-')k=1,x=c&15;else k=x=0;
	while(isdigit(Gc(c)))x=(x<<1)+(x<<3)+(c&15);
	return k?x:-x;
}
void wr(register int a){
	if(a<0)Pc('-'),a=-a;
	if(a<=9)Pc(a|'0');
	else wr(a/10),Pc((a%10)|'0');
}
signed const INF(0x3f3f3f3f),NINF(0xc3c3c3c3);
long long const LINF(0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL),LNINF(0xc3c3c3c3c3c3c3c3LL);
#define Ps Pc(' ')
#define Pe Pc('\n')
#define Frn0(i,a,b) for(register int i(a);i<(b);++i)
#define Frn1(i,a,b) for(register int i(a);i<=(b);++i)
#define Frn_(i,a,b) for(register int i(a);i>=(b);--i)
#define Mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define File(a) freopen(a".in","r",stdin),freopen(a".out","w",stdout)
#define N (110)
int n,m,r,a[N][N],e[N],x,y,ans;
signed main(){
	Rd(n),Rd(m),*e=Rd(r);
	Frn1(i,1,r){e[i]=e[i-1];while(e[i]*e[i]+i*i>r*r)--e[i];}
	while(m--){
		Rd(x),Rd(y);
		Frn1(i,max(1,y-r),min(n,y+r)){
			++a[max(1,x-e[abs(i-y)])][i];
			--a[min(n,x+e[abs(i-y)])+1][i];
		}
	}
	Frn1(i,1,n)Frn1(j,1,n)if(a[i][j]+=a[i-1][j])++ans;
	wr(ans),exit(0);
}

（个人认为如果\(n,m,r\leqslant 1000\)，这道题至少上绿）

到此为止差分的所有基本操作都讲完啦！

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Conclusion & Extension:

差分在区间修改和单词查询问题上，有着 \(O(n)-O(1)-O(n)\) 的优秀复杂度

它的基本思想就是用一个数字的变化表示一段区间的整体变化，达到优化的目的

其实，大家有木有感觉到这个差分有点像离散版的微分（把 \(\Delta x\) 设为 \(1\) ）？

当差分遇上数据结构，一段美妙的旅程又将开始：树状数组（嘻嘻嘻又是我）

到此为止本篇文章就圆满结束啦，请各位奆佬们多多指教和支持，THX!