【BZOJ 1022】 [SHOI2008]小约翰的游戏John（Anti

Description

小约翰经常和他的哥哥玩一个非常有趣的游戏：桌子上有n堆石子，小约翰和他的哥哥轮流取石子，每个人取

的时候，可以随意选择一堆石子，在这堆石子中取走任意多的石子，但不能一粒石子也不取，我们规定取到最后一

粒石子的人算输。小约翰相当固执，他坚持认为先取的人有很大的优势，所以他总是先取石子，而他的哥哥就聪明

多了，他从来没有在游戏中犯过错误。小约翰一怒之前请你来做他的参谋。自然，你应该先写一个程序，预测一下

谁将获得游戏的胜利。

Input

本题的输入由多组数据组成第一行包括一个整数T，表示输入总共有T组数据（T≤500）。每组数据的第一行包

括一个整数N（N≤50），表示共有N堆石子，接下来有N个不超过5000的整数，分别表示每堆石子的数目。

Output

每组数据的输出占一行，每行输出一个单词。如果约翰能赢得比赛，则输出“John”，否则输出“Brother”

，请注意单词的大小写。

Sample Input

2

3

3 5 1

1

1

Sample Output

John

Brother

前言

定义$mex$函数的值为不属于集合$S$中的最小非负整数，即：

\[mex(S)=min\lbrace x \rbrace(x\notin S,x \in N)
\]

例如$mex(\lbrace 0,2,4\rbrace)=1$。对于状态$x$和它的所有$k$个后继状态$y_1,y_2,...,y_n$，定义$SG$函数：

\[SG(x)=mex\lbrace SG (y_1),SG(y_2),...SG(y_n)\rbrace
\]

有向图游戏的和的SG函数值等于它包含的各个子游戏SG函数值的异或和，即：

\[SG(G)=SG(G_1)\bigoplus SG(G_2)\bigoplus ...\bigoplus SG(G_n)
\]

解题报告

我们先考虑剩下石堆石子数都为1的情况。当石堆的个数为奇数时，此时处于必输态(SG值=奇数个1异或=1)，反则当石堆的个数为偶数时处于必赢态(SG值=0)。

如果剩下石堆石子数存在至少两个石堆大于1的情况，如果此时SG值不等于0，由于$SG(G)=SG(G_1)\bigoplus SG(G_2)\bigoplus ...\bigoplus SG(G_n)$，设$SG(G)$的二进制表示下最高位的1在第k位，你们至少存在一堆石子$SG(G_i)$,它的第k位是1。显然$SG(G_i) \bigoplus x<SG(G_i)$，我们从第$i$堆取走若干石子,相当于$SG(G_i) \bigoplus x$，而$x \bigoplus x=0$。所以我们可以通过在一个石子堆里取走若干石子将总的$SG$值变为0。

如果只有一个石堆大于1，那么先手总可以让全1的石堆的个数变为奇数个。

结论

1、当剩下石堆石子数都为1的时，总SG值等于0必胜。

2、当剩下石堆石头数有一个大于1的时候，总SG值大于1必胜。

代码

#include <bits/stdc++.h>

#define ll long long

using namespace std;

const int N = 2e5+10;

int main(){

    int T;

    cin>>T;

    while(T--)

    {

        int n,x,ans=0;

        cin>>n;

        int flag=1;

        for(int i=1;i<=n;i++)

        {

            cin>>x;

            ans^=x;

            if(x!=1)

                flag=0;

        }

        if((flag&&!ans)||(!flag&&ans))

        {

            printf("John\n");

        }

        else

            printf("Brother\n");

    }

    return 0;

}

参考资料

https://wenku.baidu.com/view/25540742a8956bec0975e3a8.html

https://oi-wiki.org/math/game-theory/