动态规划——DP算法(Dynamic Programing)
一、斐波那契数列(递归VS动态规划)
1、斐波那契数列——递归实现(python语言)——自顶向下
递归调用是非常耗费内存的,程序虽然简洁可是算法复杂度为O(2^n),当n很大时,程序运行很慢,甚至内存爆满。
- def fib(n):
- #终止条件,也就是递归出口
- if n == 0 or n == 1:
- return 1
- else:
- #递归条件
- return (fib(n-1) + fib(n - 2))
2、斐波那契数列——动态规划实现(python语言)——自底向上
动态规划——将需要重复计算的问题保存起来,不需要下次重新计算。对于斐波那契数列,算法复杂度为O(n)。
- def dp_fib(n):
- #初始化一个数组,用于存储记录计算的结果。
- res = [None] * (n + 1)
- #前两项设置为1。
- res[0] = res[1] = 1
- #自底向上,将计算结果存入数组内。
- for i in range(2, (n + 1)):
- res[i] = res[i-1] + res[i-2]
- return res[n]
3、方法概要
(1)构造一个公式,它表示一个问题的解是与它的子问题的解相关的公式:
(2)为这些子问题做索引,以便于它们能够在表中更好的存储与检索(用数组存储)。
(3)以自底向上的方法来填写这个表格;首先填写最小的子问题的解。
(4)这就保证了当我们解决一个特殊的子问题时,可以利用比它更小的所有可利用的子问题的解。
总之,因为在上世纪40年代(计算机普及很少时),这些规划设计是与“列表”方法相关的,因此被称为动态规划——Dynamic Programing。
二、动态规划算法——思想简介
1、DP算法思想
(1)将待求解的问题分解称若干个子问题,并存储子问题的解而避免计算重复的子问题,并由子问题的解得到原问题的解。
(2)动态规划算法通常用于求解具有某种最有性质的问题。
(3)动态规划算法的基本要素:最优子结构性质和重叠子问题。
最优子结构性质:问题的最优解包含着它的子问题的最优解。即不管前面的策略如何,此后的决策必须是基于当前状态(由上一次的决策产生)的最优决策。
重叠子问题:在用递归算法自顶向下解问题时,每次产生的子问题并不总是新问题,有些问题被反复计算多次。对每个子问题只解一次,然后将其解保存起来,
以后再遇到同样的问题时就可以直接引用,不必重新求解。
2、DP算法——解决问题的基本特征
(1)动态规划一般求解最值(最优、最大、最小、最长)问题;
(2)动态规划解决 的问题一般是离散的,可以分解的(划分阶段的)。
(3)动态规划结局的问题必须包含最优子结构,即可以有(n-1)的最优推导出n的最优。
3、DP算法——解决问题的基本步骤
动态规划算法的四个步骤:
(1)刻画最优解的结构特性。(一维、二维、三维数组);
(2)递归的定义最优解。(状态转移方程)
(3)以自底向上的方法来计算最优解。
(4)从计算得到的解来构造一个最优解。
4、求解例子——求阶乘 n!
- #递归实现求阶乘
- def multiply(n):
- if n == 0 or n == 1:
- return 1
- return n * multiply(n -1)
- #动态规划实现求阶乘
- def dp_multiply(n):
- temp = [None] * (n + 1)
- temp[0] = 1
- temp[1] = 1
- for i in range(2, n + 1):
- temp[i] = i * temp[i - 1]
- return temp[n]
三、动态规划——常见例题
1、求解最长不降子序列
(1)方法一:普通方法,算法复杂度为O(n^2)。
假设原始的数列为数组 a
分析:
刻画结构特性:用F[ i ] 表示前 i 项最长不下降子序列的长度;
状态转移方程:如果a [ i ] >=a [ j ], F[i] = max(F[i], F[j] + 1) 其中,0 <= j < i
数据存储:自底向上求解最小子结构最优解存入数组
其中,pre[ i ]表示以元素a [ i ] 为结尾的最长不降序列的前一个元素索引(也就是以a[i]结尾的最长不降序列的倒数第二个元素)。存储这个值是为了方便输出最长的不降序列。
- def Longest_Increaseing(a):
- F = [1] * len(a)
- pre = [0] * len(a)
- for i in range(1, len(a)):
- for j in range(i):
- if a[i] >= a[j]:
- F[i] = max(F[i], F[j] + 1)
- pre[i] = j
- return F, pre
- a = [5,2,8,6,3,6,9,7]
- F, pre = Longest_Increaseing(a)
- #这里只是能获得两个数组,其中F[i]的最大值就是最长不降序列的长度。
接下来,输出最长的不降序列的元素值,请看下面的代码:
- def Longest_Increaseing(a):
- F = [1] * len(a)
- pre = [0] * len(a)
- for i in range(1, len(a)):
- for j in range(i):
- if a[i] >= a[j]:
- F[i] = max(F[i], F[j] + 1)
- pre[i] = j
- return F, pre
- a = [5,2,8,6,3,6,9,7]
- F, pre = Longest_Increaseing(a)
- #最长序列的索引
- k = F.index(max(F))
- #输出序列的列表
- result = [None] * F[k]
- flag = True
- Len = F[k]
- while flag:
- result[Len - 1] = a[k]
- k = pre[k]
- if k == 0:
- flag = False
- Len -= 1
- print(result)
- #输出结果:[2, 3, 6, 9]
(2)方法二:时间复杂度为O(n * log(n))
参考博文:最长不下降子序列 NlogN && 输出序列 https://www.cnblogs.com/milky-w/p/8431333.html
2、求解最长的公共子序列
求解最长公共子序列代码如下(python语言):
- import numpy as np
- def LCS(str1, str2):
- #获取两个序列的长度
- m = len(str1)
- n = len(str2)
- #生成一个存储计算子问题的二位矩阵,并将元素初始化为0。
- #这个矩阵的尺寸比两个序列的尺寸分别大1个单位。
- #对于这个矩阵,第一行和第一列元素值必然为0。
- #C[i][j]的含义是:Xi = (x1, x2, x3,..., xi)和Yj = (y1, y2, x3,..., yj)的最长公共子序列
- C = np.zeros((m+1, n+1), dtype=int)
- b = np.zeros((m+1, n+1), dtype=int)
- for i in range(1, m+1):
- for j in range(1, n+1):
- #请注意这里为什么是i-1和j-1,因为其实C[1][1]表示的是
- # 两个序列的首个元素的最长公共子序列,对应的是str1[0]和str2[0]
- if str1[i-1] == str2[j-1]:
- C[i][j] = C[i-1][j-1] + 1
- b[i][j] = 1 #表示对角线方向
- else:
- if C[i][j-1] <= C[i-1][j]:
- b[i][j] = 2 #表示朝上方向
- else:
- b[i][j] = 3 #表示朝左方向
- C[i][j] = max(C[i][j-1], C[i-1][j])
- return C, b
- test1 = ['b', 'd','c', 'a', 'b', 'a']
- test2 = ["a","b","c","b","d","a","b"]
- a, b = LCS(test2, test1)
- print(a)
#矩阵a存储的是公共子序列的长度,最大值就是最大公共子序列的长度
[[0 0 0 0 0 0 0]
[0 0 0 0 1 1 1]
[0 1 1 1 1 2 2]
[0 1 1 2 2 2 2]
[0 1 1 2 2 3 3]
[0 1 2 2 2 3 3]
[0 1 2 2 3 3 4]
[0 1 2 2 3 4 4]]
- print(b)
#这里: 1表示对角线方向、2表示朝上、3表示朝左,主要是为了求具体的子序列用的。
[[0 0 0 0 0 0 0]
[0 2 2 2 1 3 1]
[0 1 3 3 2 1 3]
[0 2 2 1 3 2 2]
[0 1 2 2 2 1 3]
[0 2 1 2 2 2 2]
[0 2 2 2 1 2 1]
[0 1 2 2 2 1 2]]
接下来是输出最长公共子序列:
- import numpy as np
- def LCS(str1, str2):
- #获取两个序列的长度
- m = len(str1)
- n = len(str2)
- #生成一个存储计算子问题的二位矩阵,并将元素初始化为0。
- #这个矩阵的尺寸比两个序列的尺寸分别大1个单位。
- #对于这个矩阵,第一行和第一列元素值必然为0。
- #C[i][j]的含义是:Xi = (x1, x2, x3,..., xi)和Yj = (y1, y2, x3,..., yj)的最长公共子序列
- C = np.zeros((m+1, n+1), dtype=int)
- b = np.zeros((m+1, n+1), dtype=int)
- for i in range(1, m+1):
- for j in range(1, n+1):
- #请注意这里为什么是i-1和j-1,因为其实C[1][1]表示的是
- # 两个序列的首个元素的最长公共子序列,对应的是str1[0]和str2[0]
- if str1[i-1] == str2[j-1]:
- C[i][j] = C[i-1][j-1] + 1
- b[i][j] = 1 #表示对角线方向
- else:
- if C[i][j-1] <= C[i-1][j]:
- b[i][j] = 2 #表示朝上方向
- else:
- b[i][j] = 3 #表示朝左方向
- C[i][j] = max(C[i][j-1], C[i-1][j])
- return C, b
- def Print_Lcs(b, X, i , j):
- if i == 0 or j == 0:
- return
- if b[i][j] == 1:
- Print_Lcs(b, X, i-1, j-1)
- print(X[i-1]) #为什么是i-1,因为b矩阵的行比X的行长一个单位,而且只输出相等的值,表示公共元素。
- elif b[i][j] == 2:
- Print_Lcs(b, X, i-1, j)
- else:
- Print_Lcs(b, X, i, j-1)
- if __name__ == '__main__':
- test1 = ['b', 'd','c', 'a', 'b', 'a']
- test2 = ["a","b","c","b","d","a","b"]
- a, b = LCS(test2, test1)
- Print_Lcs(b, test2, 7, 6)
- #输出的结果是: b、c、b、a 。(请注意这里结果不唯一,因为最长子序列长度为4, 存在三个序列长度为4的子序列)
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