[TJOI2015]线性代数

OJ题号：
BZOJ3996

题目大意：
　　给定一个矩阵$B_{nn}$，矩阵$C_{1n}$，存在一个01矩阵$A_{1,n}$使得$d=(A\times B-c)\times A^\mathsf{T}$最大，求$d$的最大值。

思路：
　　化简以后可以得到$d=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}}a_ia_jb_{ij}-\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}}a_ic_i$。
　　由于$A$是一个01矩阵，因此我们可以将这题转化为“取物品”的问题。
　　已知有$n$个物品，取第$i$个有$c_i$的收益，若同时取$i$和$j$则有$c_i+c_j+b_{ij}$的收益，求最大收益。
　　我们先设置超级源汇$S$和$T$，然后对于所有的$(i,j)$，连一条从$S$到$(i,j)$的容量为$b_{ij}$的边，再分别连从$(i,j)$到$i$和$j$的容量为$\infty$的边。
　　对于每一个$i$，连一条从$i$到$T$的容量为$c_i$的边。
　　然后求出最小割$f$，则$d=\displaystyle{\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n}b_{ij}-f$。
　　然后用Edmonds-Karp算法写了一遍发现TLE了，改成用Dinic加上当前弧优化就能AC了。

 #include<queue>
 #include<cstdio>
 #include<cctype>
 #include<vector>
 #include<cstring>
 inline int getint() {
     char ch;
     while(!isdigit(ch=getchar()));
     int x=ch^'';
     while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<)+x)<<)+(ch^'');
     return x;
 }
 const int inf=0x7fffffff;
 const int E=,V=;
 int s,t;
 struct Edge {
     int from,to,remain;
 };
 int sz=;
 Edge e[E];
 std::vector<int> g[V];
 inline void add_edge(const int u,const int v,const int w) {
     e[sz]=(Edge){u,v,w};
     g[u].push_back(sz);
     sz++;
 }
 int lev[V];
 inline void bfs() {
     for(int i=;i<=t;i++) lev[i]=inf;
     lev[s]=;
     std::queue<int> q;
     q.push(s);
     while(!q.empty()) {
         int x=q.front();
         q.pop();
         for(unsigned i=;i<g[x].size();i++) {
             Edge &y=e[g[x][i]];
             if(y.remain&&lev[y.to]==inf) {
                 lev[y.to]=lev[x]+;
                 q.push(y.to);
             }
         }
     }
 }
 unsigned cur[V]={};
 int dfs(const int x,const int flow) {
     if(x==t) return flow;
     for(unsigned &i=cur[x];i<g[x].size();i++) {
         Edge y=e[g[x][i]];
         if(y.remain&&lev[x]<lev[y.to]) {
             int f=dfs(y.to,std::min(flow,y.remain));
             if(f) {
                 e[g[x][i]].remain-=f;
                 e[g[x][i]^].remain+=f;
                 return f;
             }
         }
     }
     return ;
 }
 inline int Dinic() {
     int maxflow=;
     for(;;) {
         bfs();
         if(lev[t]==inf) break;
         while(int flow=dfs(s,inf)) {
             maxflow+=flow;
         }
     }
     return maxflow;
 }
 int main() {
     int n=getint();
     s=,t=n*(n+)+;
     int ans=;
     for(int i=;i<=n;i++) {
         for(int j=;j<=n;j++) {
             int id=i*n+j;
             int w=getint();
             ans+=w;
             add_edge(s,id,w);
             add_edge(id,s,);
             add_edge(id,i,inf);
             add_edge(i,id,);
             add_edge(id,j,inf);
             add_edge(j,id,);
         }
     }
     for(int i=;i<=n;i++) {
         add_edge(i,t,getint());
         add_edge(t,i,);
     }
     printf("%d\n",ans-Dinic());
     return ;
 }

Edmonds-Karp的TLE代码：

 #include<queue>
 #include<cstdio>
 #include<cctype>
 #include<vector>
 #include<cstring>
 inline int getint() {
     char ch;
     while(!isdigit(ch=getchar()));
     int x=ch^'';
     while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<)+x)<<)+(ch^'');
     return x;
 }
 const int inf=0x7fffffff;
 const int E=,V=;
 int s,t;
 struct Edge {
     int from,to,remain;
 };
 int sz=;
 Edge e[E];
 std::vector<int> g[V];
 inline void add_edge(const int u,const int v,const int w) {
     e[sz]=(Edge){u,v,w};
     g[u].push_back(sz);
     sz++;
 }
 int a[V],p[V];
 inline int Augment() {
     memset(a,,sizeof a);
     a[s]=inf;
     std::queue<int> q;
     q.push(s);
     while(!q.empty()) {
         int x=q.front();
         q.pop();
         for(unsigned i=;i<g[x].size();i++) {
             Edge &y=e[g[x][i]];
             if(y.remain&&!a[y.to]) {
                 a[y.to]=std::min(a[x],y.remain);
                 p[y.to]=g[x][i];
                 q.push(y.to);
             }
         }
         if(a[t]) break;
     }
     return a[t];
 }
 inline int EdmondsKarp() {
     int maxflow=;
     while(int flow=Augment()) {
         for(int i=t;i!=s;i=e[p[i]].from) {
             e[p[i]].remain-=flow;
             e[p[i]^].remain+=flow;
         }
         maxflow+=flow;
     }
     return maxflow;
 }
 int main() {
     int n=getint();
     s=,t=n*(n+)+;
     int ans=;
     for(int i=;i<=n;i++) {
         for(int j=;j<=n;j++) {
             int id=i*n+j;
             int w=getint();
             ans+=w;
             add_edge(s,id,w);
             add_edge(id,s,);
             add_edge(id,i,inf);
             add_edge(i,id,);
             add_edge(id,j,inf);
             add_edge(j,id,);
         }
     }
     for(int i=;i<=n;i++) {
         add_edge(i,t,getint());
         add_edge(t,i,);
     }
     printf("%d\n",ans-EdmondsKarp());
     return ;
 }