从0x7fffffff+1开始的数学期望

-2147483648 Impel Down

蒙奇·D·路飞来到海底监狱Impel Down营救他的哥哥波特卡斯·D·艾斯
n+1层的海底监狱有n个电梯，每个电梯连接着上下两层
不幸的是，这些电梯是“薛定谔”的，即：当你到达其中一端前，该电梯的位置与运动方向均随机
现已知每个电梯从一层到下一层所需的时间t[i]
求路飞从顶层到达底层的期望时间

\(\\\)

由于电梯“薛定谔”的性质，可知从一端到另一端的时间期望为\(2t_i\)

由期望的线性性得，\(Ans=2\sum_{i=1}^n t_i\)

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-262144 Random

时任海军大将一笑正在德雷斯罗萨的赌场中玩转盘
转盘共有n个区域，编号为1~n
每转一次钢珠都会随机地进入其中的一个区域
求使钢珠进入所有区域至少一次所需转转盘的期望次数
为避免精度误差，结果对998244353取模
(n<=1e6)

\(\\\)

设\(F[k]\)为转到\(k\)个区域后还需要转的期望次数

则有\(F[n]=0,F[k]=\frac{k}{n}F[k]+\frac{n-k}{n}F[k+1]+1\)

\(F[0]\)为所求

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-65536 Keys

Impel Down被攻破了
n把相同的钥匙存放在n个相同的箱子中，有m名戴着相同手铐的囚犯去取钥匙
这些囚犯打开一次箱子拿到钥匙就会带着钥匙跑路，留下空的箱子，否则就会回到狱中怀疑人生
求跑路囚犯人数的期望
为了避免精度误差，结果对998244353取模
(n,m<=1e6)

\(\\\)

设\(F[i]\)表示第\(i\)个囚犯取完之后，期望跑路的人数

则有\(F[1]=1,F[i]=F[i-1]+\frac{n-F[i-1]}{n}\)

\(F[m]\)为所求

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-248 Losing Weight

乌索普被七武海巴索罗米·熊拍到了一个充满食物的岛上
他吃得太多了，现在的体重是m
现在他要成为食物了
乌索普要逃离这里，而现在ta面前有n个食人植物
这些植物会捕食体重不低于正整数v[i]的食物
他每天会随机遇到n个食人植物中的一个
若他会被面前的植物捕食，则他会花一天的时间使自己的体重降为 max(0,m-v[i])，否则他可以花一天时间逃脱
求他逃脱的期望天数
(0<=n,m,v[i]<=2000)

\(\\\)

设\(F[k]\)表示体重为\(k\)时逃脱的期望天数

则有\(F[k]=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n[v_i \leq k](F[\max(0,k-v_i)]+1)+[v_i>k]\)

\(F[m]\)为所求

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0 Mirrors

乔巴来到了布蕾的镜中迷宫
这个镜中迷宫是一个有n个节点的树，乔巴位于节点1
对于每个节点v都有三种情况：被布蕾抓住并送去BIG MOM的奇珍异兽收藏、逃出迷宫、等概率地通过镜子跑向相邻的空间，概率分别为c[v]、e[v]、1-c[v]-e[v]
求乔巴逃出镜中世界所需经过镜子数量的期望
若乔巴一定被布蕾抓走，输出-1
(n<=1e5;0<=c[v],e[v]<=1;c[v]+e[v]<=1)

\(\\\)

设\(E[v]\)为乔巴走到节点\(v\)时逃离镜中迷宫所需的步数

易得\(E[v]=\frac{1-c[v]-e[v]}{deg[v]}\sum_{u} (E[u]+1)+e[v]E[v]\)

对于叶子节点，有：\(E[v]=(1-c[v]-e[v])(E[f[v]]+1)+e[v]E[v]\)

这样从叶子节点往上推，不断消元消掉\(E[u](u \in sn[v])\)的项，能保证除根节点外每个节点的期望可用形如\(aE[v]+bE[f[v]]+c=0\)的方程表示

推到根节点时，由于\(E[1]=\frac{1-k[1]-e[1]}{deg[1]} \sum_{u \in sn[1]} (E[u]+1)+e[1]E[1]\)中，不存在\(E[f[1]]\)项

可得形如\(aE[1]+c=0\)的一元一次方程

\(c=0\)时答案为\(0\)

否则\(a \to 0\)时无解

否则\(E[1]=-\frac{c}{a}\)为所求

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512 Cake

BIG MOM的午餐全是甜点
她吃到k个蛋糕时再用1个单位时间有p[k]的概率吃蛋糕或者休息
她想知道自己吃n个蛋糕所需时间的期望
(0<=p[k]<=1;n<=1e4)

\(\\\)

设\(F[k]\)为吃完\(k\)个蛋糕后还需时间的期望

则有\(F[n]=0,F[k]=p[k]F[k+1]+(1-p[k])F[k]+1\)

\(F[0]\)为所求

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2048

德雷斯罗萨的战场上
“力库王殿下，老夫这次和你押的是同一边。”
一笑掷了三个骰子，这三个骰子分别有k1,k2,k3(1<=k[i]<=6)面，每次某个面朝下的概率相等
给定三个正整数a1,a2,a3(a[i]<=k[i])
计数器的运算法则：sum=(k1==a1&&k2==a2&&k3==a3)?0:sum+k1+k2+k3;
再给定一个正整数n
问使得sum>=n投掷次数的期望
(n<=300)

\(\\\)

设\(F[i]\)为当前计数器为\(i\)时到达目标状态的期望投掷次数

设\(p[v](3 \leq v \leq \sum_{i=1}^3 k[i])\)为投出总和为\(v\)且不使\(sum\)清零的概率(暴力枚举即可)

则有\(F[v]=0(n \leq v),F[v]=(\sum_{i=3}^{\sum_{j=1}^3 k[j]}p[i]F[v+i])+(F[0]\prod_{i=1}^3 \frac{1}{k[i]})+1\)

高斯消元解方程组即可

\(F[0]\)为所求

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\(TO \ BE \ CONTINUED\)