[国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB 莫比乌斯反演
题解:
$$ans = \sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}{\frac{ij}{gcd(i, j)}}$$
改成枚举d(设n < m)
$$ans = \sum_{d = 1}^{n}\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}[gcd(i, j) == d]\frac{ij}{d}$$
考虑枚举$id$
设$N = \lfloor{\frac{n}{d}}\rfloor$,$M = \lfloor{\frac{m}{d}}\rfloor$
$$ans = \sum_{d = 1}^{n}{d}\sum_{i = 1}^{N}\sum_{j = 1}^{M}\sum_{t | gcd(i, j)}{\mu(t)ij}$$
把后面改成枚举$\mu(t)$
$$ans = \sum_{d = 1}^{n}d\sum_{t = 1}^{N}{\mu(t)} \sum_{i = 1}^{\lfloor{\frac{N}{t}}\rfloor}\sum_{j = 1}^{\lfloor{\frac{M}{t}}\rfloor}ijt^2$$
$$ans = \sum_{d = 1}^{n}d\sum_{t = 1}^{N}{\mu(t)} t^2 \sum_{i = 1}^{\lfloor{\frac{N}{t}}\rfloor}\sum_{j = 1}^{\lfloor{\frac{M}{t}}\rfloor}ij$$
$$ans = \sum_{d = 1}^{n}d\sum_{t = 1}^{N}{\mu(t)} t^2 \sum_{i = 1}^{\lfloor{\frac{N}{t}}\rfloor}i\sum_{j = 1}^{\lfloor{\frac{M}{t}}\rfloor}j$$
因为$\sum_{i = 1}^{\lfloor{\frac{N}{t}}\rfloor}i$显然是可以$O(n)$预处理的,而$\lfloor{\frac{N}{t}}\rfloor \lfloor{\frac{M}{t}}\rfloor$可以整数分块,$t^2\mu(t)$可以线性筛$O(n)$预处理,总复杂度$O(n + n\sqrt{n})$
不过其实还有更优的方法,以后再说吧。。。
- #include<bits/stdc++.h>
- using namespace std;
- #define R register int
- #define AC 10000010
- #define p 20101009
- #define LL long long
- int n, m, N, M, tot;
- LL ans;
- int prime[AC], mu[AC];
- LL sum[AC], s[AC];//质数,mu函数,1~n求和,mu(t)*t^2求和
- bool z[AC];
- void pre()
- {
- scanf("%d%d", &n, &m);
- mu[] = ;
- int b = max(n, m), x;
- s[] = sum[] = ;//初始化1,,,,因为下面的i是从2开始的
- for(R i = ; i <= b; i++)
- {
- if(!z[i]) prime[++tot] = i, mu[i] = -;
- s[i] = (s[i - ] + (LL)mu[i] * ((LL)i * (LL)i)%p) % p;//error !!, mu要LL
- sum[i] = (sum[i - ] + i) % p;
- for(R j = ; j <= tot; j ++)
- {
- x = prime[j];
- if(i * x > b) break;
- z[i * x] = true;
- if(!(i % x)) break;
- mu[i * x] = -mu[i];
- }
- }
- }
- void work()
- {
- if(m < n) swap(n, m);
- //for(R i = 1; i <= m; i ++) printf("%lld ", sum[i]);
- //printf("\n");
- LL summ;
- for(R i = ; i <= n; i++)//枚举d
- {
- int pos;
- N = n / i, M = m / i;
- summ = ;
- for(R j = ; j <= N; j = pos + )//枚举t
- {
- pos = min(N / (N / j), M / (M / j));
- summ += (((s[pos] - s[j - ]) % p * sum[N / j]) % p * sum[M / j]) % p;
- summ %= p;
- }
- summ = (summ * i + p) % p;//error!!!别把d给忘了!
- ans = (ans + summ + p) % p;
- //printf("%lld\n", ans);
- }
- printf("%lld\n", ans);
- }
- int main()
- {
- // freopen("in.in", "r", stdin);
- pre();
- work();
- // fclose(stdin);
- return ;
- }
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