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先说一下什么是约瑟夫环,转自:传送门

关于约瑟夫环问题,无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点:要模拟整个游戏过程,不仅程序写起来比较烦,而且时间复杂度高达O(nm),当n,m非常大(例如上百万,上千万)的时候,几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号,而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率,就要打破常规,实施一点数学策略。

为了讨论方便,先把问题稍微改变一下,并不影响原意:
问题描述:n个人(编号0~(n-1)),从0开始报数,报到(m-1)的退出,剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后,剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环(以编号为k=m%n的人开始):
  k  k+1  k+2  ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换:

k     --> 0
k+1   --> 1
k+2   --> 2
...
...
k-2   --> n-2
k-1   --> n-1

解x'    ----> 解为x
注意<x’就是最终的解>
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题,假如我们知道这个子问题的解:例如x是最终的胜利者,那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗?!!变回去的公式很简单,相信大家都可以推出来:x'=(x+k)%n

如何知道(n-1)个人报数的问题的解?对,只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢?当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题!下面举例说明:

 
假设现在是6个人(编号从0到5)报数,报到(2-1)的退出,即<m=2>。那么第一次编号为1的人退出圈子,从他之后的人开始算起,序列变为2,3,4,5,0,即问题变成了这5个人报数的问题,将序号做一下转换:
2 -->0
3 -->1
4 -->2
5 -->3
 -->4
现在假设x为0,1,2,3,4的解,x'设为那么原问题的解(这里注意,2,3,4,5,0的解就是0,1,2,3,4,5的解,因为1出去了,结果还是一个),根据观察发现,x与x'关系为x'=(x+m)%n,因此只要求出x,就可以求x'。x怎么求出呢?继续推导吧。0,1,2,3,4,,同样是第二个1出列,变为(2,3,4,0),转换下为
2 -->0
3 -->1
4 -->2
0 -->3
很简单,同样的道理,公式又出来了,x=(x''+m)%5,这里变成5了。即求n-1个人的问题就是找出n-2的人的解,n-2就是要找出n-3,等等
因此,就可以回去看上面的推导过程了。
 
好了,思路出来了,下面写递推公式:
令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号,最后的结果自然是f[n]

递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i;  (i>1)

有了这个公式,我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值,最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始,我们输出f[n]+1
由于是逐级递推,不需要保存每个f[i],程序也是异常简单。

 
本题AC代码:
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
int ans,n,k;
while(scanf("%d%d",&n,&k)!=EOF)
{
ans=;
for(int i=;i<=n;i++)
ans=(ans+k)%i;
printf("%d\n",ans+);
}
return ;
}

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