【BZOJ4606】[Apio2008]DNA DP

【BZOJ4606】[Apio2008]DNA

Description

分析如DNA序列这样的生命科学数据是计算机的一个有趣应用。从生物学的角度上说,DNA 是一种由腺嘌呤、胞嘧啶、鸟嘌呤和胸腺嘧啶这四种核苷酸组成的链式结构。这四种核苷酸分别用大写字母A、C、G、T表示。这样,一条DNA单链可以被表示为一个只含以上四种字符的字符串。我们将这样的字符串称作一个DNA序列 。有时生物学家可能无法确定一条DNA单链中的某些核苷酸。在这种情况下,字符N将被用来表示一个不确定的核苷酸。换句话说,N可以用来表示A、C、G、T中的任何一个字符。我们称包含一个或者多个N的DNA序列为未完成序列;反之,就称作完成序列。

如果一个完成序列可以通过将一个未完成序列中的每个N任意替换成A、C、G、T得到的话,就称完成序列适合这个未完成序列。举例来说,ACCCT适合ACNNT,但是AGGAT不适合。研究者们经常按照如下方式排序四种核苷酸:A优先于C,C优先于G,G优先于T。如果一个DNA序列中的每个核苷酸都与其右边的相同或者优先,就将其归类为范式-1。举例来说,AACCGT是范式-1,但是AACGTC不是。一般来说,一个DNA序列属于范式-j(j>1),只要它属于范式-(j-1)或者是一个范式-(j-1)和一个范式-1的连接。举例来说,AACCC、ACACC和ACACA都是范式-3,但GCACAC和ACACACA不是。同样,研究者们按照字典序对 DNA 序列进行排序。按照这个定义,最小的属于范式-3的DNA序列是AAAAA,最大的是TTTTT。这里是另外一个例子,考虑未完成序列 ACANNCNNG。那么前7个适合这个未完成序列的DNA序列是:

ACAAACAAG

ACAAACACG

ACAAACAGG

ACAAACCAG

ACAAACCCG

ACAAACCGG

ACAAACCTG

写一个程序,找到按字典序的第R个适合给定的长度为M的未完成序列的范式-K。

Input

输入第一行包含三个由空格隔开的整数:M(1≤M≤50,000),K(1≤K≤10)和R(1≤R≤2×10^12)。

第二行包含一个长度为M的字符串,表示未完成序列。

保证适合该未完成序列的范式-K的总数不超过4×10^18 

因此该数可以用C和C++中的long long类型或者Pascal中的Int64类型表示。

同时,R不会超过适合给定未完成序列的范式-K的总数。

Output

在第一行中输出第R个适合输入中的未完成序列的范式-K。

Sample Input

9 3 5
ACANNCNNG

Sample Output

ACAAACCCG

题意：我们定义一个串的范式=最少能将该串分成多少个连续的段，满足每段都是单调不降的（A<C<G<T）。现用A,C,G,T替换原串中的N，求在所有可能得到的串中，第R小的，范式<=K的串。

题解：感觉思路和数位DP好像。

先倒着DP，令f[i][j][k]表示后i位，范式=k，且第i位是j的串的个数。转移比较简单。最后我们再正着统计一遍。如果第i位=j时方案数<ans，就令ans-=方案数，并枚举j+1。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
const int maxn=50010;
typedef long long ll;
ll R;
int n,m;
int v[maxn];
ll f[maxn][4][10];
char str[maxn];
int main()
{
	scanf("%d%d%lld%s",&n,&m,&R,str),m--;
	int i,j,k,l;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		switch(str[i-1])
		{
			case 'A': v[i]=0; break;
			case 'C': v[i]=1; break;
			case 'G': v[i]=2; break;
			case 'T': v[i]=3; break;
			case 'N': v[i]=-1; break;
		}
	}
	f[n+1][3][0]=1;
	for(i=n;i>=1;i--)
	{
		for(j=0;j<4;j++)	if(v[i]==-1||v[i]==j)	for(k=0;k<=m;k++)
		{
			for(l=j;l<4;l++)	f[i][j][k]+=f[i+1][l][k];
			if(k)	for(l=0;l<j;l++)	f[i][j][k]+=f[i+1][l][k-1];
		}
	}
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		for(j=0;j<4;j++)	for(k=1;k<=m;k++)	f[i][j][k]+=f[i][j][k-1];
		for(j=0;j<4;j++)
		{
			ll tmp;
			if(j<v[i-1])	tmp=f[i][j][m-1];
			else	tmp=f[i][j][m];
			if(R>tmp)	R-=tmp;
			else	break;
		}
		v[i]=j;
		if(v[i]<v[i-1])	m--;
		switch(v[i])
		{
			case 0: str[i-1]='A'; break;
			case 1: str[i-1]='C'; break;
			case 2: str[i-1]='G'; break;
			case 3: str[i-1]='T'; break;
			case -1: str[i-1]='N'; break;
		}
	}
	printf("%s",str);
	return 0;
}