【BZOJ】【1597】【USACO 2008 Mar】土地购买

DP/斜率优化

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　　Orz Hzwer……

　　想到排序了，但没想到其实可以将序列转化为x递增且y递减的序列……因为x是递增的，若y[i]>y[i-1]那么第i-1个就足够小……以至于可以在搞定第 i 个的同时顺便带走……

　　这次仔细写一下斜率优化的过程吧～

　　方程：$ f[i]=min\{ f[j]+x[i]*y[j+1] \} $

　　若 $j>k$ 且 决策$j$更优，则有：\[ \begin{aligned} {f[j]+x[i]*y[j+1]} &<  {f[k]+x[i]*y[k+1]}  \\ {f[j]-f[k]} &<  {x[i]*(y[k+1]-y[j+1])} \\ {\frac{ f[j]-f[k] }{ y[k+1]-y[j+1] }} &<  {x[i]} \end{aligned} \]

　　至此我们就可以用单调队列来维护决策序列了（一个凸壳）

 /**************************************************************
     Problem: 1597
     User: Tunix
     Language: C++
     Result: Accepted
     Time:108 ms
     Memory:3036 kb
 ****************************************************************/

 //BZOJ 1597
 #include<cmath>
 #include<vector>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
 #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
 #define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
 #define pb push_back
 using namespace std;
 int getint(){
     int v=,sign=; char ch=getchar();
     while(ch<''||ch>''){ if (ch=='-') sign=-; ch=getchar();}
     while(ch>=''&&ch<=''){ v=v*+ch-''; ch=getchar();}
     return v*=sign;
 }
 const int N=,INF=~0u>>;
 typedef long long LL;
 /******************tamplate*********************/

 struct node{
     int x,y;
     bool operator < (const node&b)const{
         return x<b.x || (x==b.x && y<b.y);
     }
 }a[N];
 LL f[N],x[N],y[N];
 int q[N];
 double slop(int a,int b){
     return double(f[b]-f[a])/(y[a+]-y[b+]);
 }
 int main(){
     int n=getint(),m=;
     F(i,,n) a[i].x=getint(),a[i].y=getint();
     sort(a+,a+n+);
     F(i,,n){
        while(m && a[i].y>=y[m]) m--;
        x[++m]=a[i].x; y[m]=a[i].y;
     }
     int l=,r=;
     F(i,,m){
         while(l<r && slop(q[l],q[l+])<x[i])l++;
         int t=q[l];
         f[i]=f[t]+y[t+]*x[i];
         while(l<r && slop(q[r],i)<slop(q[r-],q[r]))r--;
         q[++r]=i;
     }
     printf("%lld\n",f[m]);
     return ;
 }