LIS 问题也就是最长不下降子序列问题,是一个经典的问题。

做法一

我们发现可以动态规划,设 \(f_i\) 表示前 \(i\) 项包含 \(i\) 的 LIS 长度。

有转移方程:

\[f_i=\max_{a_j\leq a_i} f_j +1
\]

可以用 \(O(n^2)\) 的时间复杂度求解

做法二

有一个经典的 \(O(n \log n)\) 求解 LIS 的算法,本质可能类似贪心?

我们设 \(f_i\) 表示长度为 \(i\) 的 LIS 末尾最小为多少。

那么显然,这个 \(f_i\) 具有单调性,可以用二分维护。

具体实现我就不给了,这个不是我们的重点。

做法三

我们都知道经典的 \(O(n \log n)\) 求解 LIS 需要写一个很烦的二分,但是树状数组就不用啦。

观察动态规划转移方程:

\[f_i=\max_{a_j\leq a_i} f_j +1
\]

注意到这就是一个二维偏序问题,所以树状数组轻松解决,对于我这种数据结构爱好者简直是福音。

  1. #include<bits/stdc++.h>
  2. #define LL long long
  3. using namespace std;
  4. const LL N=1e5+5;
  5. LL n,a[N],t[N],f[N],mx;
  6. LL lowbit(LL x)
  7. {
  8. return x&-x;
  9. }
  10. LL query(LL x)
  11. {
  12. LL ans=0;
  13. while(x)
  14. {
  15. ans=max(ans,t[x]);
  16. x-=lowbit(x);
  17. }
  18. return ans;
  19. }
  20. void update(LL x,LL y)
  21. {
  22. while(x<=n)
  23. {
  24. t[x]=max(t[x],y);
  25. x+=lowbit(x);
  26. }
  27. }
  28. int main()
  29. {
  30. scanf("%lld",&n);
  31. for(int i=1;i<=n;i++)
  32. {
  33. scanf("%lld",&a[i]);
  34. }
  35. for(int i=1;i<=n;i++)
  36. {
  37. f[i]=query(a[i])+1;
  38. update(a[i],f[i]);
  39. mx=max(f[i],mx);
  40. }
  41. printf("%lld",mx);
  42. }

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