2018第九届蓝桥杯决赛（C++ B组）

逛了大半个北京还是挺好玩de

第一题

标题：换零钞

x星球的钞票的面额只有：100元，5元，2元，1元，共4种。

小明去x星旅游，他手里只有2张100元的x星币，太不方便，恰好路过x星银行就去换零钱。

小明有点强迫症，他坚持要求200元换出的零钞中2元的张数刚好是1元的张数的10倍，

剩下的当然都是5元面额的。

银行的工作人员有点为难，你能帮助算出：在满足小明要求的前提下，最少要换给他多少张钞票吗？

（5元，2元，1元面额的必须都有，不能是0）

题解

// 假设xyz分别代表5，2，1面额的钞票的张数，列个算式
// 5x + 2y + z =200
// y = 10z
// => 5x + 21z = 200
// 接下来用程序暴力跑一下即可
// 结果是**74** 

#include <iostream>

int main() {
	for(int z=1;;z++){
		int remain = 200 - z*21;
		if(remain%5==0){
			std::cout<<z+10*z+(remain/5);
			break;
		}
	}
    return 0;
}

第二题

标题：激光样式

x星球的盛大节日为增加气氛，用30台机光器一字排开，向太空中打出光柱。

安装调试的时候才发现，不知什么原因，相邻的两台激光器不能同时打开！

国王很想知道，在目前这种bug存在的情况下，一共能打出多少种激光效果？

显然，如果只有3台机器，一共可以成5种样式，即：

全都关上（sorry, 此时无声胜有声，这也算一种）

开一台，共3种

开两台，只1种

30台就不好算了，国王只好请你帮忙了。

要求提交一个整数，表示30台激光器能形成的样式种数。

题解

暴力dfs即可，其中lastBulbLight表示上一个灯是否开启(1 for switch on, 0 for switch off),结果是2178309

#include <iostream>

#define SEARCH_DEEPTH 30

unsigned long long solutionCnt = 0;

void dfs(int current,bool lastBulbLight){
	if(current==SEARCH_DEEPTH){
		solutionCnt++;
		return;
	}

	if(lastBulbLight==0){
		dfs(current+1,1);
		dfs(current+1,0);
	}else{
		dfs(current+1,0);
	}
}

int main(){
	dfs(0,0);
	std::cout<<solutionCnt;
	return 0;
}

第三题

标题：格雷码

格雷码是以n位的二进制来表示数。

与普通的二进制表示不同的是，它要求相邻两个数字只能有1个数位不同。

首尾两个数字也要求只有1位之差。

有很多算法来生成格雷码。以下是较常见的一种：

从编码全0开始生成。

当产生第奇数个数时，只把当前数字最末位改变（0变1，1变0）

当产生第偶数个数时，先找到最右边的一个1，把它左边的数字改变。

用这个规则产生的4位格雷码序列如下：

0000

0001

0011

0010

0110

0111

0101

0100

1100

1101

1111

1110

1010

1011

1001

1000

以下是实现代码，仔细分析其中逻辑，并填写划线部分缺少的代码。

#include <stdio.h>
void show(int a,int n)
{
    int i;
    int msk = 1;
    for(i=0; i<n-1; i++) msk = msk << 1;
    for(i=0; i<n; i++){
        printf((a & msk)? "1" : "0");
        msk = msk >> 1;
    }
    printf("\n");
}   

void f(int n)
{
    int i;
    int num = 1;
    for(i=0; i<n; i++) num = num<<1;  

    int a = 0;
    for(i=0; i<num; i++){
        show(a,n);  

        if(i%2==0){
            a = a ^ 1;
        }
        else{
            a = _________________________ ; //填空
        }
    }
}  

int main()
{
    f(4);
    return 0;
}

请注意：只需要填写划线部分缺少的内容，不要抄写已有的代码或符号。

题解

我只想到了暴力解法：

(a&1)?((a&2)?(a-2):(a+2)):((a&2)?((a&4)?(a-4):(a+4)):((a&4)?((a&8)?(a-8):(a+8)):/*impossible*/a))

具体做法是a和0001,0010,0100,1000取&获取最右边1的位置，然后获取它的左边的位，如果是1反转为0就减，否则加

更新：

看了别人的题解才突然想起了,树状数组lowbit(x)可以获取最右边1，然后左移一位和当前值异或直接出结果

a^((a&(-a))<<1)

第四题

标题：调手表

小明买了块高端大气上档次的电子手表，他正准备调时间呢。

在 M78 星云，时间的计量单位和地球上不同，M78 星云的一个小时有 n 分钟。

大家都知道，手表只有一个按钮可以把当前的数加一。在调分钟的时候，如果当前显示的数是 0 ，那么按一下按钮就会变成 1，再按一次变成 2 。如果当前的数是 n - 1，按一次后会变成 0 。

作为强迫症患者，小明一定要把手表的时间调对。如果手表上的时间比当前时间多1，则要按 n - 1 次加一按钮才能调回正确时间。

小明想，如果手表可以再添加一个按钮，表示把当前的数加 k 该多好啊……

他想知道，如果有了这个 +k 按钮，按照最优策略按键，从任意一个分钟数调到另外任意一个分钟数最多要按多少次。

注意，按 +k 按钮时，如果加k后数字超过n-1,则会对n取模。

比如，n=10, k=6 的时候，假设当前时间是0，连按2次 +k 按钮，则调为2。

「输入格式」

一行两个整数 n, k ，意义如题。

「输出格式」

一行一个整数

表示：按照最优策略按键，从一个时间调到另一个时间最多要按多少次。

「样例输入」

5 3

「样例输出」

2

「样例解释」

如果时间正确则按0次。否则要按的次数和操作系列之间的关系如下：

1：+1

2：+1, +1

3：+3

4：+3, +1

「数据范围」

对于 30% 的数据 0 < k < n <= 5

对于 60% 的数据 0 < k < n <= 100

对于 100% 的数据 0 < k < n <= 100000

第五题

标题：搭积木

小明对搭积木非常感兴趣。他的积木都是同样大小的正立方体。

在搭积木时，小明选取 m 块积木作为地基，将他们在桌子上一字排开，中间不留空隙，并称其为第0层。

随后，小明可以在上面摆放第1层，第2层，……，最多摆放至第n层。摆放积木必须遵循三条规则：

规则1：每块积木必须紧挨着放置在某一块积木的正上方，与其下一层的积木对齐；

规则2：同一层中的积木必须连续摆放，中间不能留有空隙；

规则3：小明不喜欢的位置不能放置积木。

其中，小明不喜欢的位置都被标在了图纸上。图纸共有n行，从下至上的每一行分别对应积木的第1层至第n层。每一行都有m个字符，字符可能是‘.’或‘X’，其中‘X’表示这个位置是小明不喜欢的。

现在，小明想要知道，共有多少种放置积木的方案。他找到了参加蓝桥杯的你来帮他计算这个答案。

由于这个答案可能很大，你只需要回答这个答案对1000000007(十亿零七)取模后的结果。

注意：地基上什么都不放，也算作是方案之一种。

【输入格式】

输入数据的第一行有两个正整数n和m，表示图纸的大小。

随后n行，每行有m个字符，用来描述图纸 。每个字符只可能是‘.’或‘X’。

【输出格式】

输出一个整数，表示答案对1000000007取模后的结果。

【样例输入1】

2 3

..X

.X.

【样例输出1】

4

【样例说明1】

成功的摆放有（其中O表示放置积木）：

(1)

..X

.X.

(2)

..X

OX.

(3)

O.X

OX.

(4)

..X

.XO

【样例输入2】

3 3

..X

.X.

...

【样例输出2】

16

【数据规模约定】

对于10%的数据，n=1，m<=30；

对于40%的数据，n<=10，m<=30；

对于100%的数据，n<=100，m<=100。

第六题

标题：矩阵求和

经过重重笔试面试的考验，小明成功进入 Macrohard 公司工作。

今天小明的任务是填满这么一张表：

表有 n 行 n 列，行和列的编号都从1算起。

其中第 i 行第 j 个元素的值是 gcd(i, j)的平方，

gcd 表示最大公约数，以下是这个表的前四行的前四列：

1 1 1 1

1 4 1 4

1 1 9 1

1 4 1 16

小明突然冒出一个奇怪的想法，他想知道这张表中所有元素的和。

由于表过于庞大，他希望借助计算机的力量。

「输入格式」

一行一个正整数 n 意义见题。

「输出格式」

一行一个数，表示所有元素的和。由于答案比较大，请输出模 (10^9 + 7)(即：十亿零七) 后的结果。

「样例输入」

4

「样例输出」

48

「数据范围」

对于 30% 的数据，n <= 1000

存在 10% 的数据，n = 10^5

对于 60% 的数据，n <= 10^6

对于 100% 的数据，n <= 10^7

题解

O(n^2)累加gcd是肯定不能得满分的，这里要用到数论的知识，具体点是欧拉函数（求[1,p)内与p互质数的个数的函数）。

#include <iostream>

#define MAX 10000005
#define MOD_VALUE 1000000007

bool visit[MAX];
unsigned long long prime[MAX];
int primeCnt = 0;
unsigned long long phi[MAX];
unsigned long long sum[MAX];

// 欧拉线性筛+求欧拉函数模板
void eulerFilter(){
	phi[1] = 1;
	for(int i=2;i<=MAX;i++){
		if(!visit[i]){
			phi[i] = i-1;
			prime[++primeCnt] = i;
		}

		for(int k=1;k<=primeCnt;k++){
			unsigned long long currentPrime = prime[k];
			if(i*currentPrime > MAX){
				break;
			}
			visit[i*currentPrime] = true;
			if(i % currentPrime == 0){
				phi[i* currentPrime] = phi[i] * currentPrime;
				break;
			}else{
				phi[i* currentPrime] = phi[i] * phi[currentPrime];
			}
		}
	} 

	sum[1] = phi[1];
	for(int i=2;i<MAX;i++){
		sum[i] = sum[i-1] + phi[i]*2;
	}
}

int main(){
	// INT_MAX is big enough to hold values <=10000000 on 32bits platform
	int n;
	std::cin>>n;
	eulerFilter();
	unsigned long long result = 0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		result = (result+ sum[n/i]*i%MOD_VALUE*i%MOD_VALUE)%MOD_VALUE;
	}
	std::cout<<result<<"\n";
	return 0;
}