HDU 5900 QSC and Master （区间DP）

题目链接   http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5900

题意：给出序列$A_{i}.key$和$A_{i}.value$，若当前相邻的两个数$A_{i}.key$和$A_{i+1}.key$的最大公约数大于1，则可以把这两个数消去，同时消去$A_{i}.value$和$A_{i+1}.value$，每次消去得到的分数为$A_{i}$和$A_{i+1}$的value值，问最大可能得分。

注意：当$A_{i}$和$A_{i+1}被$消去后，$A_{i-1}$和$A_{i+2}$成为了新的相邻的数。若符合条件则可以继续消去。

思路：很明显是区间DP，但是我比赛中如何也A不了。原因有两个：1.没有注意到位运算的低优先级。2.没有把所有情况考虑清楚。

设$f[i][j]$为从第$i$个数到第$j$个数所能得到的最大得分，$j-i+1$从2开始依次枚举，最后枚举到$f[1][n]$（考虑DP的无后效性）

分类讨论即可。先考虑不合并的情况，则$f[i][j]$被$f[i][k]+f[k + 1][j]$依次更新。

　　　　　　　　　　再考虑合并的情况$f[i][j]$可以被$f[i][k] + a[k + 1] + a[k + 2] + f[k +3][j]$更新。

　　　　　　　　　　特殊情况讨论：当$a[i + 1]$到$a[j - 1]$中所有的数都可以被消去，则$a[i]$和$a[j]$作为相邻的数也可以被消去。这种情况的讨论非常重要！！！

　　    代码送上

 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <iostream>
 #include <algorithm>
 #include <functional>

 using namespace std;

 #define REP(i,n)        for(int i(0); i <  (n); ++i)
 #define rep(i,a,b)        for(int i(a); i <= (b); ++i)
 #define dec(i,a,b)        for(int i(a); i >= (b); --i)
 #define for_edge(i,x)        for(int i = H[x]; i; i = X[i])

 const int N    =            +    ;
 const int M    =            +    ;
 const int Q    =            +    ;
 const int A    =            +    ;

 typedef long long LL;

 LL f[Q][Q];
 bool c[Q][Q];
 bool ret[Q][Q];
 int T;
 int n;
 LL a[Q], b[Q];
 LL gcd(LL a, LL b){ return b ==  ? a : gcd(b, a % b); }

 int main(){
     scanf("%d", &T);
     while (T--){
         scanf("%d", &n);
         memset(a, , sizeof a);
         memset(b, , sizeof b);
         memset(c, false, sizeof c);
         memset(ret, false, sizeof ret);
         memset(f, , sizeof f);
         rep(i, , n) scanf("%lld", a + i);
         rep(i, , n) scanf("%lld", b + i);
         rep(i, , n - ) rep(j, i + , n) if (gcd(a[i], a[j]) != ) c[i][j] = true;
         rep(i, , n - ) if (gcd(a[i], a[i + ]) > ) ret[i][i + ] = true;
         for (int len = ; len <= n; len += ){
             rep(i, , n - len + ){
                 int j = i + len - ;
                 bool flag = false;
                 if (c[i][i + ] && ret[i + ][j]) flag = true;
                 if (c[j - ][j] && ret[i][j - ]) flag = true;
                 if (c[i][j] && ret[i + ][j - ]) flag = true;
                 for (int k = i + ; k <= j - ; k += ) if (ret[k][k + ] && ret[i][k - ] && ret[k + ][j]){ flag = true; break;}
                 if (flag) ret[i][j] = true;
             }
         }

         rep(i, , n - ) if (c[i][i + ]) f[i][i + ] = b[i] + b[i + ];
         rep(i, , n - ) f[i][i + ] = max(f[i][i + ], f[i + ][i + ]);
         rep(len, , n){
             rep(i, , n - len + ){
                 int j = i + len - ;
                 rep(k, i, j) f[i][j] = max(f[i][j], f[i][k] + f[k + ][j]);
                 if (len %  == ){ if (ret[i + ][j - ] && c[i][j]) f[i][j] = max(f[i][j], b[i] + b[j] + f[i + ][j - ]); }
                 f[i][j] = max(f[i][j], f[i + ][j]);
                 f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - ]);
                 if (c[i][i + ]) f[i][j] = max(f[i][i + ] + f[i + ][j], f[i][j]);
                 if (c[j - ][j]) f[i][j] = max(f[j - ][j] + f[i][j - ], f[i][j]);
                 rep(k, i + , j - ) if (c[k][k + ]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i][k - ] + f[k][k + ] + f[k + ][j]);
             }
         }
         printf("%lld\n", f[][n]);

     }

     return ;

 }