POJ 1845 Sumdiv （数学，乘法逆元）

题意：

　　给出数字A和B，要求A^B的所有因子（包括A^B和1）之和 mod 9901 的结果。

思路：

　　即使知道公式也得推算一阵子。

　　很容易知道，先把分解得到，那么得到，那么的所有因子之和的表达式如下：

　　

　　我们要做的就是计算出sum%9901的结果。

　　有两种方法：

　　（1）直接用快速幂计算对上面sum的第一步推算求结果，在计算过程中顺便取模。

　　（2）可以根据以下这条公式对上面sum的第二步推算求结果：

　　　　　

　　　　也是需要用到快速幂，过程也稍微复杂了些。注意 mb 可能会超过int。

　　以下是第二种方法的代码：

 //#include <bits/stdc++.h>
 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <cmath>
 #include <map>
 #include <algorithm>
 #include <vector>
 #include <iostream>
 #define pii pair<int,int>
 #define INF 0x3f3f3f3f
 #define LL unsigned long long
 using namespace std;
 const double PI  = acos(-1.0);
 const int N=;
 const LL mod=;
 bool isPrime[N];
 LL p[N];       //素数表

 int get_all_prime(int n)    //筛法求所有[0~n)素数，返回素数表大小
 {
     memset(isPrime, , sizeof(isPrime));
     int cnt=;
     for(int i=; i<n; i++)
     {
         if(!isPrime[i])    continue;
         p[cnt++]=i;
         for(int j=i*i; j<n; j+=i)    isPrime[j]=;
     }
     return cnt;
 }

 LL _mul(LL a,LL b,LL mod)   //a*b要用加法形式运算才不会溢出
 {
     a%=mod;
     LL r=;     //结果
     while( b )
     {
         if( b& )     r=(r+a)%mod;
         a=(a+a)%mod;
         b>>=;
     }
     return r;
 }

 LL pow(LL a,LL b,LL mod)    //快速幂函取模
 {
     a%=mod;
     LL r=;     //结果
     while( b )
     {
         if( b& )     r=_mul(r,a,mod);
         a=_mul(a,a,mod);
         b>>=;
     }
     return r;
 }

 LL cal(LL A,LL B)
 {
     LL ans=;
     for(int i=; p[i]*p[i]<=A; i++ )    //先求A的所有质因子
     {
         if(A%p[i]==)
         {
             int cnt=;
             while(A%p[i]==)    //全部取光
             {
                 cnt++;
                 A/=p[i];
             }
             LL mb=mod*(p[i]-);
             ans*=(pow(p[i], cnt*B+, mb)+mb-)%mb/(p[i]-) ;  //要防止出现负数
             ans%=mod;
         }
     }

     if(A>)
     {
         //如果没有把A成功分解，那么必定是个质数。
         //其实也可以写在上面那一步中，只是复杂度就会稍高了。
         LL mb=mod*(A-);
         ans*=(pow(A, B+, mb)+mb-)%mb/(A-) ;  //要防止出现负数
         ans%=mod;
     }

     return ans;
 }

 int main()
 {
     //freopen("input.txt", "r", stdin);
     get_all_prime(N);
     int A, B;
     while(~scanf("%d%d",&A,&B))
         printf("%lld\n", cal(A,B) );
     return ;
 }

AC代码