Verlet Integration

Verlet 积分法是一种用于求解牛顿运动方程的数值方法，被广泛运用于动力学模拟以及视频游戏中。尔莱算法的优点在于：数值稳定性比简单的欧拉方法高很多，并保持了物理系统中的时间可逆性与相空间体积元体积守恒的性质。

基本韦尔莱算法

根据牛顿运动方程有

代入到粒子的位移关于时间步的泰勒展开式中有：

得到

同理

两式相加得

则

新位置的计算误差为四阶，

为时间步。因而韦尔莱算法中不涉及速度，如果希望得到速度，可以从前面的两式相减得出

速度表示的韦尔莱算法

一般地，速度表示的韦尔莱算法更为常用，它可以给出同一时间变量下的速度和位置。它实际上与基本韦尔莱算法等价，精度相同。

首先对位置进行泰勒展开

对两式相减可得

将最初的Verlet公式中的

换成

代入前式，可得

此式即为速度表示的韦尔莱算法。实际常用的计算步骤为

  1. 首先通过泰勒展开式

    计算得到位置

  2. 由

    和系统的相互作用势条件（如果相互作用仅依赖位置

    ）可以求得力场

  3. 由速度表示的韦尔莱公式求出新的速度
 
 

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