[USACO]奶牛赛跑(逆序对)
Description
约翰有 N 头奶牛,他为这些奶牛准备了一个周长为 C 的环形跑牛场。所有奶牛从起点同时起跑,奶牛在比赛中总是以匀速前进的,第 i 头牛的速度为 Vi。只要有一头奶牛跑完 L 圈之后,比赛就立即结束了。
有时候,跑得快的奶牛可以比跑得慢的奶牛多绕赛场几圈,从而在一些时刻超过慢的奶牛。这就是最令观众激动的套圈事件了。请问在整个比赛过程中,套圈事件一共会发生多少次呢?
Input Format
• 第一行:三个整数 N ,L 和 C,1 ≤ N ≤ 10^5; 1 ≤ L ≤ 25000; 1 ≤ C ≤ 25000
• 第二行到第 N + 1 行:第 i + 1 行有一个整数 Vi,1 ≤ Vi ≤ 10^6
Output Format
单个整数:表示整个比赛过程中,套圈的次数之和
Solution
首先,如果一头牛跑的圈数比另一头牛多,那么它们的差值向下取整即为他们的收益,
容易想到\(O(n^2)\)的做法,枚举每头奶牛与其他奶牛的收益,但这样肯定超时
我们发现,对于一头牛跑的圈数\(cyl[i]\),只要找出所有比他小的值进行处理,
即\(Ans=\sum_{i=1}^nF[i], 且F[i]=\sum \bigg\lfloor cyl[i]-cyl[j]\bigg\rfloor,cyl[i]> cyl[j],1\leq i,j\leq n.\)
但这样好像也没用什么思路,
我们发现,其实\(cyl[i]-cyl[j]\)下取整是因为有小数,而不妨直接先把整数部分直接加起来,然后单独考虑小数部分(好吧也许很难想到)
我们发现,2个数的小数部分最多影响1,如果把cyl数组升序排序,那么Ans只要每次减去前面比当前小数部分小的count即可,
没错!发现变成了求逆序对,那么用树状数组或者归并排序都行
这里采用树状数组,注意离散化
Code
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define ll long long
#define db double
#define N 100010
#define lowbit(x) ((x)&(-x))
using namespace std;
const db eps=1e-8;
int n,v[N],L,C,p[N];
ll cyl[N],Ans,m,tree[N];
struct info{
db num;
int id;
friend bool operator < (info a,info b){
return a.num<b.num;
}
}A[N];
void add(int x){for(;x<=n;x+=lowbit(x)) tree[x]++;}
ll sum(int x){ll r=0;for(;x;x-=lowbit(x)) r+=tree[x];return r;}
int main(){
scanf("%d%d%d",&n,&L,&C);
for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&v[i]);
sort(v+1,v+n+1);
db t=(db)(L*1ll*C)/(db)v[n];
for(int i=1;i<=n;++i){
cyl[i]=(ll)(t*v[i]/C);
Ans+=(i-1)*cyl[i]-m;
m+=cyl[i];
A[i].num=(db)(t*v[i]/C)-(db)cyl[i];
A[i].id=i;
}
sort(A+1,A+n+1);
int cnt=0;
for(int i=1;i<=n;++i){
if(!(fabs(A[i].num-A[i-1].num)<eps)||i==1) ++cnt;
p[A[i].id]=cnt;
}
for(int i=1;i<=n;++i){
Ans-=sum(n)-sum(p[i]);
add(p[i]);
}
printf("%lld\n",Ans);
return 0;
}
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