TQX 的 DP AAgain!
闲话:
这确实抽象,将所有人给干离线了……
不如叫做 TQX 的离线 DP QwQ
DP
基本思路就是找一个比较好的能够描绘问题的状态,想怎么转移,再进行优化。
--TQX
背包 DP
根号分治优化背包,大概就是利用 \(cnt \times siz \ge cap\) 将多重变为完全,然后统一转移。
区间 DP
复杂度越高的题越难?(雾
区间 DP 简单的就是 \(f_{l, r}\) 这个限制,但是常常来说这是无法解决问题的(除非实在简单
所以需要辅助以与问题相关的信息,例如 \(\max, \min, \cdots\) 才能进行转移。
值得注意的是区间 DP 的常数很小,如果枚举了 \(n\) 个位置(单调)那么将带有 \(\frac 1 {n!}\) 的常数!所以 \(O(n^7)\) 不是梦,\(50\) 也能过。
P5336 [THUSC2016] 成绩单 大概说的就是转移代价与 \(\min, \max\) 相关但是与区间内有什么无关,那么就在区间 DP 同时维护最大/最小是什么即可,复杂度 \(O(n^5)\)
AGC035D Add and Remove 很抽象的区间 DP,大概是说这次我们不顺着来考虑了,从外到内考虑。发现删除中间那个数,会对左右两边各做一次贡献,那么我们可以设 \(f_{i, j, x, y}\) 表示 \(i, j\) 分别对左右两边做 \(x, y\) 次贡献的最小代价。最终答案就是 \(f_{1, n, 1, 1}\),那么转移也就简单了,中间那个会对左边来 \(x\) 次,右边来 \(y\) 次,也就是左边区间内的东西对两侧分别 \(x + y, y\),右边则是 \(x, x + y\),那么递归下去搜索即可。
[AGC039E] Pairing Points 区间计数 DP……敢信 \(O(n^7)\) 能过!大概是说要善于利用 树
的性质:没有三条边互相相交,那么我们枚举一个点对应的点,那么就可以分成两个区间,这两个区间间形成鱼骨状的联系。
那么需要联通,两边至少需要一个跨过中线的东西吧,这总会有一个最顶顶上的吧,那么分成了 \(4\) 块,两两需要联通,状态这不就没了吗?但是发现其实只会有 \(3\) 块!
因为一定会存在两个分界点(绿色)使得分成独立的三部分。
那么思路就清晰了,我们只需要知道分界点,那么就可以枚举最上面的那条线,以及下面的两个分界点即可。于是得出式子:\(f_{l, r, m} = \sum_{x \in [l, m), y \in (m, r]} \sum_{p \in [x, m), q \in (m, y]} f_{l, x, p} f_{q, y, r} f_{p + 1, m, q - 1}\),直接做是 \(O(n^7)\) 的但是带一个 \(\frac 1 {7!}\) 的常数,能过。
容易利用先枚举绿色断点的方式优化到 \(O(n^5)\)。
树形 DP
或许如果将子树利用 dfn
转化为一个区间,那么树形 DP 可能也可以转化为区间 DP 的模型。只是在这里区间要么相交,要么相离,所以树形 DP 应该是不难于区间 DP 的(雾
经常与线段树合并/长链剖分/动态 DP 等算法结合出现,令人闻风丧胆,不过感觉这些主要考察数据结构。
--TQX
CF1517F Reunion 大概说的是求白点扩展 \(r\) 格覆盖所有点的方案数。那么考虑一个朴素的 DP:\(f_{x, i, j}\) 表示 \(x\) 子树内最深的黑点和最浅的白点的距离。那么转移是简单的。但是复杂度为 \(O(n^5)\),是无法过的,所以考虑如果白点存在且覆盖了所有黑点,那么只需要记录白点是什么,同理,如果黑点没有被完全覆盖,那么白点没有用,就只需要记录黑点是啥就行了,复杂度被优化为 \(O(n^3)\)。
[AGC034E] Complete Compress 非常神奇,大概就是说基于一个贪心的思路,考虑移动祖孙点是不优的,那么我们只需要移动不同子树内的东西即可。但是也不能把子树内的全部搞定了,因为可能需要分一点出来在祖先的地方平衡其他的子树,这启示我们可以考虑维护一个上下界,表示能达到的状态。考虑到每次移动使得两个点深度 \(-1\),启示我们可以利用 \(\sum dep\) 作为状态转移,那么设 \(f_i, g_i\) 分别表示上下界,那么细细转移即可。上界是简单的,就是不需要移动,而下界不简单,考虑如果有一个子树太深,那么怎么也无法使得下界为 \(0/1\),那么将 \(mx = \max g_y\) 求出来,如果 \(S = \sum \min(f_y + siz_y, mx) < 2 mx\),那么显然就达不到 \(0/1\),反之就可以。至于是 \(0/1\),考虑到每次操作总深度减少的一定是 \(2\),那么这就取决于 \(f_i\) 的奇偶性。朴素的每个点都要作为一次根,考虑换根即可做到 \(O(n)\)。
[Ynoi2006] spxmcq 朴素的很简单,\(f_x = w_x + \sum \max (f_y, 0)\),但是需要优化,\(O(nq)\) 显然不够。大概说就是考虑将 \(x\) 离线升序排序,那么显然的是 \(\max (f_y, 0)\) 会在某前段时间为 \(0\),在某后段时间为 \(f_y\),那么我们只需要知道 \(f_y\) 在什么时候变成 \(> 0\) 的,那么就可以得出 \(x\) 的答案即对其联通的子树求和简单即可。不妨设某个根 \(x\),考虑什么时候 \(f_x > 0\),假设其所在的联通块大小为 \(siz\),原本的权值和为 \(wei\),那么只需要当 \(w > \frac {-wei}{siz}\) 的时候就可以使得 \(f_x > 0\) 了!那么利用 set
存一存,注意新连接一个子树需要更新一下其变化的时间!
CF1326G Spiderweb Trees 咕
数位 DP
一般需要单独处理卡上界的情况,可以将卡上界作为一个状态,也可以直接把上界拆开。通常同时有上下界时会将区间答案转化为前缀和相减。
--TQX
P2657 windy 数 板子题,略。
【UER#4】被粉碎的数字 大概就是简单的在数位 DP 的同时维护一个进位,考虑最后我们需要只是相等,那么再维护一个差值,也就是 \(f_{i, x, d}\) 表示考虑到 \(i\) 位,前面进过来了 \(x\) 位,当前差值为 \(d\),卡个上界记忆化即可。
CF1456E XOR-ranges 非常抽象的一个数位区间 DP。注意到有上下界,这是不好处理的,但是可以发现的是只有 \(O(k)\) 种脱离上下界的方法,之后就可以任意填了。考虑最后脱离限制的那位,显然的是之后全放 \(0\) 或者全放 \(1\) 是最优的,那么考虑枚举区间最后脱离的位,如果 \(l - 1, r + 1\) 在之后存在一位不同,那么这一位一定需要做出贡献。于是可以搞出一个区间 DP,设 \(f_{c, l, r, 0/1, 0/1, 0/1, 0/1}\) 表示区间 \(l, r\) 在 \(c\) 退位,左右顶着上/下界,下面填的是 \(0\) 还是 \(1\),之后枚举断点转移即可。
状压 DP
CF1158F Density of subarrays 更加抽象的状压 DP。注意到当 \(c\) 很小的时候,我们就可以简单的状压,做到 \(O(\frac {n^2 2^c}{c})\)。但是当 \(c\) 很大的时候这就显得无能为力,可能需要将 \(O(2^c)\) 替换为 \(O(n)\)。接着就可以发现,利用背包,设 \(f_{i, j}\) 表示前 \(i\) 个分 \(j\) 段的方案数,接下来就是 \(g_{l, r}\) 表示转移的系数,表示必须选 \(l\),并且在 \(l, r\) 中选了一些使得密度为 \(1\) 的方案数,那么直接转移即可。注意加 register
卡卡常。
DP 的优化
通常优化 DP,除了改变状态之外,也可以通过分析转移的性质,进而改变枚举方法或者结合一些其他算法来进行优化。
--TQX
单调队列,非常朴实,咕
slope trick
,大概就是说利用堆维护 DP 函数的斜率,从而转移。一般来说是将 \(f_{i, x}\) 看成一个关于 \(x\) 的函数 \(f_{i}(x)\),然后维护其形状转移到下一个函数 \(f_{i + 1}(x)\),一般来说转移加凸函数(如绝对值)的就可以考虑凸优化。
Red Black Tree 注意到 \(O(n^2)\) DP 是简单的:\(f_{x, k} = \min_{i = 0/1} (g_{x, i} + \sum f_{y, k - i})\),其中 \(i = 1\) 表示是黑色,\(g_{x, i}\) 是修改为颜色 \(i\) 的代价。可以归纳得出 \(f_x\) 是个凸函数,那么合并时暴力加起来,插入 \(1/-1\) 即可。
[APIO2016] 烟火表演 与上一题类似,加一个可并堆即可。
斜率优化,大概就是说 \(f_x = f_y + c_x + c_y + g_x g_y\) 这种东西,其中 \(c_x, c_y, g_x, g_y\) 都是已知,但是 \(f_y\) 需要 DP 计算,那么就可以利用斜率优化完成,可以看 # 算法学习笔记(31): 李超线段树
决策单调性,与四边形不等式(交叉小于包含)强相关。对于 2D1D 的问题,如果 \(w(l, r)\) 满足四边形不等式以及包含单调性(\(l \le x \le y \le r \to w(l, r) \ge w(x, y)\))那么整个 DP 满足四边形不等式,就可以优化为 \(O(n^2)\) 了。
但是对于 1D1D 的区间单调性,就需要神秘的方法:单调栈与二分。
大概就是说既然决策单调,那么每一个部分管的区间就是一个区间……那么就可以类似单调栈的搞它。
但是如果仅仅只是 \(f_i = w(j, i)\) 的东西,那么可以利用分治解决。
Artistic Partition 大概就是说最朴素的 DP 就是 \(f_{i, j} = f_{i - 1, k} + w(k + 1, j)\),注意到这里 \(w(k + 1, j)\) 满足四边形不等式,那么就可以利用分治优化。注意到直接计算不简单,考虑利用莫队(注意分治时用莫队只有常数上的开销!)只是这里莫队转移要带一个 \(O(d(V))\) 的代价,所以单次转移复杂度为 \(O(n \log^2 n)\)。注意到当 \(k\) 很大的时候,总可以构造出一个方案使得答案抵着下界 \(n\),不难发现这是 \(O(\log n)\) 的,于是只需要转移 \(O(\log n)\) 次即可。其实也可以 \(O(n \sqrt n)\) 的预处理式子(利用整除分块),做到 \(O(1)\) 回答,那么总复杂度为 \(O(n \log^2 n + n \sqrt n)\)。
最后
DP,可以说是重中之重,在最优化和计数中常常能见到它的身影。
它没啥套路,又全是套路 QwQ,最可恶的一集。
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